Номер 21.63, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.63, страница 144.

21.63. a) $y = x^3$, $y = 10 - x$, $x = 0$;

б) $y = x^3$, $y = 10 - x$, $y = 0$;

в) $y = -x^3$, $y = 5 + 4x$, $x = 0$;

г) $y = -x^3$, $y = 5 + 4x$, $y = 0$.

а) Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями $y = x^3$, $y = 10 - x$ и $x = 0$, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти точки пересечения кривых. Это поможет определить пределы интегрирования.
Приравняем функции $y = x^3$ и $y = 10 - x$:
$x^3 = 10 - x$
$x^3 + x - 10 = 0$
Решим это уравнение. Можно заметить, что $x=2$ является корнем, так как $2^3 + 2 - 10 = 8 + 2 - 10 = 0$.
Таким образом, графики пересекаются при $x=2$.
2. Определить, какая функция является верхней, а какая — нижней на интервале интегрирования.
Фигура ограничена слева прямой $x=0$ (ось y) и справа точкой пересечения $x=2$. Следовательно, интервал интегрирования — $[0, 2]$.
Чтобы определить, какая функция больше на этом интервале, возьмем любую точку из него, например, $x=1$:
Для $y = x^3$: $y(1) = 1^3 = 1$.
Для $y = 10 - x$: $y(1) = 10 - 1 = 9$.
Поскольку $9 > 1$, функция $y = 10 - x$ является верхней, а $y = x^3$ — нижней.
3. Вычислить площадь с помощью определенного интеграла.
Площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx$, где $f(x)$ — верхняя функция, а $g(x)$ — нижняя.
$S = \int_{0}^{2} ((10 - x) - x^3) dx = \int_{0}^{2} (10 - x - x^3) dx$
Вычислим интеграл:
$S = \left[ 10x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = \left( 10 \cdot 2 - \frac{2^2}{2} - \frac{2^4}{4} \right) - \left( 10 \cdot 0 - \frac{0^2}{2} - \frac{0^4}{4} \right)$
$S = \left( 20 - \frac{4}{2} - \frac{16}{4} \right) - 0 = 20 - 2 - 4 = 14$.
Ответ: 14.

б) Фигура ограничена линиями $y = x^3$, $y = 10 - x$ и $y = 0$ (ось x).
1. Найдем точки пересечения этих линий:
Пересечение $y = x^3$ и $y = 0$: $x^3 = 0 \implies x = 0$.
Пересечение $y = 10 - x$ и $y = 0$: $10 - x = 0 \implies x = 10$.
Пересечение $y = x^3$ и $y = 10 - x$: $x^3 + x - 10 = 0 \implies x = 2$ (из пункта а).
2. Визуализируем фигуру. Она расположена над осью x ($y=0$). Точка пересечения $x=2$ разделяет фигуру на две части.
На интервале $[0, 2]$ фигура ограничена сверху кривой $y = x^3$, а снизу — осью $y=0$.
На интервале $[2, 10]$ фигура ограничена сверху прямой $y = 10 - x$, а снизу — осью $y=0$.
3. Площадь фигуры — это сумма площадей двух областей.
$S = S_1 + S_2$
$S_1 = \int_{0}^{2} (x^3 - 0) dx = \int_{0}^{2} x^3 dx$
$S_2 = \int_{2}^{10} ((10 - x) - 0) dx = \int_{2}^{10} (10 - x) dx$
Вычислим каждый интеграл:
$S_1 = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
$S_2 = \left[ 10x - \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{10} = \left( 10 \cdot 10 - \frac{10^2}{2} \right) - \left( 10 \cdot 2 - \frac{2^2}{2} \right) = (100 - 50) - (20 - 2) = 50 - 18 = 32$.
Общая площадь:
$S = S_1 + S_2 = 4 + 32 = 36$.
Ответ: 36.

в) Фигура ограничена линиями $y = -x^3$, $y = 5 + 4x$ и $x = 0$.
1. Найдем точку пересечения $y = -x^3$ и $y = 5 + 4x$:
$-x^3 = 5 + 4x$
$x^3 + 4x + 5 = 0$
Подбором находим корень $x = -1$, так как $(-1)^3 + 4(-1) + 5 = -1 - 4 + 5 = 0$.
2. Определим интервал интегрирования и расположение функций.
Фигура ограничена прямыми $x=-1$ и $x=0$. Интервал интегрирования — $[-1, 0]$.
Возьмем точку $x = -0.5$ из этого интервала:
Для $y = -x^3$: $y(-0.5) = -(-0.5)^3 = 0.125$.
Для $y = 5 + 4x$: $y(-0.5) = 5 + 4(-0.5) = 5 - 2 = 3$.
Так как $3 > 0.125$, функция $y = 5 + 4x$ является верхней.
3. Вычислим площадь:
$S = \int_{-1}^{0} ((5 + 4x) - (-x^3)) dx = \int_{-1}^{0} (x^3 + 4x + 5) dx$
$S = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{4x^2}{2} + 5x \right]_{-1}^{0} = \left[ \frac{x^4}{4} + 2x^2 + 5x \right]_{-1}^{0}$
$S = (0) - \left( \frac{(-1)^4}{4} + 2(-1)^2 + 5(-1) \right) = - \left( \frac{1}{4} + 2 - 5 \right) = - \left( \frac{1}{4} - 3 \right) = - \left( \frac{1 - 12}{4} \right) = - \left( -\frac{11}{4} \right) = \frac{11}{4}$.
Ответ: $\frac{11}{4}$.

г) Фигура ограничена линиями $y = -x^3$, $y = 5 + 4x$ и $y = 0$.
1. Найдем точки пересечения:
Пересечение $y = -x^3$ и $y = 0$: $-x^3 = 0 \implies x = 0$.
Пересечение $y = 5 + 4x$ и $y = 0$: $5 + 4x = 0 \implies x = -5/4$.
Пересечение $y = -x^3$ и $y = 5 + 4x$: $x = -1$ (из пункта в).
2. Фигура находится над осью x. Точка пересечения $x=-1$ делит ее на две части.
На интервале $[-5/4, -1]$ фигура ограничена сверху прямой $y = 5 + 4x$ и снизу осью $y=0$.
На интервале $[-1, 0]$ фигура ограничена сверху кривой $y = -x^3$ и снизу осью $y=0$.
3. Площадь равна сумме площадей:
$S = S_1 + S_2 = \int_{-5/4}^{-1} (5 + 4x) dx + \int_{-1}^{0} (-x^3) dx$
Вычислим интегралы:
$S_1 = \left[ 5x + 2x^2 \right]_{-5/4}^{-1} = (5(-1) + 2(-1)^2) - (5(-\frac{5}{4}) + 2(-\frac{5}{4})^2) = (-5 + 2) - (-\frac{25}{4} + 2\frac{25}{16}) = -3 - (-\frac{50}{8} + \frac{25}{8}) = -3 - (-\frac{25}{8}) = -3 + \frac{25}{8} = \frac{1}{8}$.
$S_2 = \left[ -\frac{x^4}{4} \right]_{-1}^{0} = (-\frac{0^4}{4}) - (-\frac{(-1)^4}{4}) = 0 - (-\frac{1}{4}) = \frac{1}{4}$.
Общая площадь:
$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{1}{8} + \frac{2}{8} = \frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{8}$.