Номер 21.67, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.67, страница 144.

21.67. a) $y = \sin 2x$, $y = \frac{16x^2}{\pi^2}$;

б) $y = x^2 - 1$, $y = \cos \frac{\pi x}{2}$;

в) $y = \cos x$, $y = \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right)^2$;

г) $y = x^2 - 2x$, $y = \sin \frac{\pi x}{2}$.

Для нахождения точек пересечения графиков двух функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ необходимо решить уравнение $f(x) = g(x)$.

а) $y = \sin 2x, y = \frac{16x^2}{\pi^2}$

Приравниваем функции: $$ \sin 2x = \frac{16x^2}{\pi^2} $$ Проверим очевидные решения. Если $x = 0$, то $\sin(2 \cdot 0) = \sin(0) = 0$ и $\frac{16 \cdot 0^2}{\pi^2} = 0$. Следовательно, $x = 0$ является корнем уравнения.

Рассмотрим правую часть уравнения. Это парабола $y = \frac{16x^2}{\pi^2}$ с вершиной в точке $(0, 0)$. Рассмотрим левую часть, $y = \sin 2x$. Область значений этой функции — отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, решения могут существовать только при условии, что правая часть также находится в этом диапазоне: $$ 0 \le \frac{16x^2}{\pi^2} \le 1 $$ Решим неравенство: $$ x^2 \le \frac{\pi^2}{16} $$ $$ |x| \le \frac{\pi}{4} $$ Таким образом, все решения лежат на отрезке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$.

Проверим границы этого отрезка. При $x = \frac{\pi}{4}$: Левая часть: $\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Правая часть: $\frac{16}{\pi^2} \cdot (\frac{\pi}{4})^2 = \frac{16}{\pi^2} \cdot \frac{\pi^2}{16} = 1$. Так как $1=1$, $x = \frac{\pi}{4}$ является решением.

При $x = -\frac{\pi}{4}$: Левая часть: $\sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{4})) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$. Правая часть: $\frac{16}{\pi^2} \cdot (-\frac{\pi}{4})^2 = \frac{16}{\pi^2} \cdot \frac{\pi^2}{16} = 1$. Так как $-1 \neq 1$, $x = -\frac{\pi}{4}$ не является решением.

Рассмотрим интервал $(-\frac{\pi}{4}, 0)$. На этом интервале $2x \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$, поэтому $\sin 2x < 0$. Однако $\frac{16x^2}{\pi^2} > 0$. Следовательно, на этом интервале решений нет. На интервале $(0, \frac{\pi}{4})$ функция $y = \sin 2x$ является вогнутой (ее вторая производная $(-4\sin 2x)$ отрицательна), а функция $y = \frac{16x^2}{\pi^2}$ является выпуклой (ее вторая производная $\frac{32}{\pi^2}$ положительна). Две кривые с разной направленностью выпуклости могут пересекаться не более чем в двух точках. Мы уже нашли две точки пересечения $x=0$ и $x=\frac{\pi}{4}$, поэтому других решений на этом интервале нет.

Ответ: $x=0$, $x=\frac{\pi}{4}$.

б) $y = x^2 - 1, y = \cos\frac{\pi x}{2}$

Приравниваем функции: $$ x^2 - 1 = \cos\frac{\pi x}{2} $$ Область значений функции $y=\cos\frac{\pi x}{2}$ — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, должно выполняться неравенство: $$ -1 \le x^2 - 1 \le 1 $$ Первая часть неравенства $x^2 - 1 \ge -1 \implies x^2 \ge 0$ верна для всех $x$. Вторая часть неравенства $x^2 - 1 \le 1 \implies x^2 \le 2 \implies |x| \le \sqrt{2}$. Значит, все решения находятся на отрезке $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Проверим некоторые значения. Обе функции, $y=x^2-1$ и $y=\cos\frac{\pi x}{2}$, являются четными, поэтому если $x_0$ является решением, то и $-x_0$ тоже будет решением. При $x=1$: $1^2 - 1 = 0$ и $\cos(\frac{\pi \cdot 1}{2}) = 0$. Значит, $x=1$ — решение. Из-за четности, $x=-1$ также является решением: $(-1)^2 - 1 = 0$ и $\cos(\frac{\pi \cdot (-1)}{2}) = 0$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 - 1 - \cos\frac{\pi x}{2}$ на отрезке $[0, \sqrt{2}]$. Мы ищем нули этой функции. Мы уже знаем, что $f(1)=0$. Найдём производную: $f'(x) = 2x + \frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi x}{2}$. На интервале $(0, 1)$ оба слагаемых $2x$ и $\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi x}{2}$ положительны, значит $f'(x) > 0$. Функция $f(x)$ строго возрастает на $(0, 1)$. Поскольку $f(0) = 0^2 - 1 - \cos(0) = -2$, а $f(1) = 0$, то $x=1$ — единственный корень на отрезке $[0, 1]$. На интервале $(1, \sqrt{2}]$ имеем $x^2-1 > 0$, а $\frac{\pi x}{2} \in (\frac{\pi}{2}, \frac{\pi\sqrt{2}}{2}]$, поэтому $\cos\frac{\pi x}{2} < 0$. Положительное число не может равняться отрицательному, поэтому решений на этом интервале нет. В силу четности, единственным решением на $[-\sqrt{2}, 0)$ является $x=-1$.

Ответ: $x=-1$, $x=1$.

в) $y = \cos x, y = \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right)^2$

Приравниваем функции: $$ \cos x = \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right)^2 $$ Правая часть уравнения неотрицательна, поэтому $\cos x \ge 0$. Область значений косинуса — отрезок $[-1, 1]$, поэтому $\left(\frac{2x}{\pi} - 1\right)^2 \le 1$. Решим это неравенство: $$ -1 \le \frac{2x}{\pi} - 1 \le 1 $$ $$ 0 \le \frac{2x}{\pi} \le 2 $$ $$ 0 \le x \le \pi $$ Итак, все решения находятся на отрезке $[0, \pi]$. Учитывая, что $\cos x \ge 0$, мы сужаем поиск до отрезка $[0, \frac{\pi}{2}]$.

Проверим концы этого отрезка. При $x=0$: $\cos(0) = 1$ и $(\frac{2 \cdot 0}{\pi} - 1)^2 = (-1)^2 = 1$. Значит, $x=0$ — решение. При $x=\frac{\pi}{2}$: $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $(\frac{2 \cdot \pi/2}{\pi} - 1)^2 = (1 - 1)^2 = 0$. Значит, $x=\frac{\pi}{2}$ — решение.

Рассмотрим функцию $h(x) = \cos x - \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right)^2$ на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$. Ее вторая производная: $h''(x) = -\cos x - \frac{8}{\pi^2}$. На интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ имеем $\cos x > 0$, поэтому $h''(x) < 0$. Это означает, что функция $h(x)$ является строго вогнутой на этом интервале. Строго вогнутая функция, которая обращается в ноль на концах интервала ($h(0)=0$ и $h(\frac{\pi}{2})=0$), принимает положительные значения внутри него. Таким образом, других корней на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ нет.

Ответ: $x=0$, $x=\frac{\pi}{2}$.

г) $y = x^2 - 2x, y = \sin\frac{\pi x}{2}$

Приравниваем функции: $$ x^2 - 2x = \sin\frac{\pi x}{2} $$ Область значений синуса — отрезок $[-1, 1]$, значит должно выполняться неравенство: $$ -1 \le x^2 - 2x \le 1 $$ Первая часть: $x^2 - 2x \ge -1 \implies x^2 - 2x + 1 \ge 0 \implies (x-1)^2 \ge 0$. Это верно для любого $x$. Вторая часть: $x^2 - 2x \le 1 \implies x^2 - 2x - 1 \le 0$. Корни уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$ равны $x = 1 \pm \sqrt{2}$. Следовательно, решения неравенства лежат на отрезке $[1-\sqrt{2}, 1+\sqrt{2}]$, что примерно равно $[-0.414, 2.414]$.

Проверим целочисленные значения из этого диапазона. При $x=0$: $0^2 - 2 \cdot 0 = 0$ и $\sin(\frac{\pi \cdot 0}{2}) = 0$. Значит, $x=0$ — решение. При $x=1$: $1^2 - 2 \cdot 1 = -1$ и $\sin(\frac{\pi \cdot 1}{2}) = 1$. $-1 \neq 1$, не является решением. При $x=2$: $2^2 - 2 \cdot 2 = 0$ и $\sin(\frac{\pi \cdot 2}{2}) = \sin(\pi) = 0$. Значит, $x=2$ — решение.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 - 2x - \sin\frac{\pi x}{2}$ на отрезке $[0, 2]$. Мы ищем нули этой функции. Мы уже знаем, что $f(0)=0$ и $f(2)=0$. Найдем вторую производную: $f''(x) = 2 + (\frac{\pi}{2})^2 \sin\frac{\pi x}{2}$. На интервале $(0, 2)$, аргумент синуса $\frac{\pi x}{2}$ находится в интервале $(0, \pi)$, где $\sin\frac{\pi x}{2} > 0$. Следовательно, $f''(x) > 0$ на всем интервале $(0, 2)$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго выпуклой (вогнутой вверх) на $(0, 2)$. Строго выпуклая функция может иметь не более двух корней. Так как мы уже нашли два корня $x=0$ и $x=2$, других корней на отрезке $[0, 2]$ нет.

Вне отрезка $[0, 2]$, но в пределах $[1-\sqrt{2}, 1+\sqrt{2}]$: На интервале $[1-\sqrt{2}, 0) \approx [-0.414, 0)$, парабола $y=x^2-2x = x(x-2)$ положительна, а синусоида $y=\sin\frac{\pi x}{2}$ отрицательна. Решений нет. На интервале $(2, 1+\sqrt{2}] \approx (2, 2.414]$, парабола $y=x^2-2x$ снова положительна, а синусоида $y=\sin\frac{\pi x}{2}$ отрицательна. Решений нет.

Ответ: $x=0$, $x=2$.