Номер 21.71, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.71, страница 145.

21.71. a) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^{\frac{4}{3}}$, касательной к графику этой функции, проведенной в точке $x_0 = 8$, и осью абсцисс.

б) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x\sqrt[4]{x}$, касательной к графику этой функции, проведенной в точке $x_0 = 1$, и осью ординат.

а)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^{4/3}$, касательной к этому графику в точке $x_0 = 8$ и осью абсцисс, выполним следующие шаги:

1. Нахождение уравнения касательной.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Наша функция: $f(x) = x^{4/3}$.

Находим значение функции в точке касания $x_0 = 8$:

$f(8) = 8^{4/3} = (8^{1/3})^4 = 2^4 = 16$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (x^{4/3})' = \frac{4}{3}x^{4/3 - 1} = \frac{4}{3}x^{1/3}$.

Находим угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 8$:

$f'(8) = \frac{4}{3} \cdot 8^{1/3} = \frac{4}{3} \cdot 2 = \frac{8}{3}$.

Составляем уравнение касательной:

$y = 16 + \frac{8}{3}(x - 8) = 16 + \frac{8}{3}x - \frac{64}{3} = \frac{48 - 64}{3} + \frac{8}{3}x = \frac{8}{3}x - \frac{16}{3}$.

Итак, уравнение касательной: $y = \frac{8}{3}x - \frac{16}{3}$.

2. Анализ границ фигуры.

Фигура ограничена кривой $y = x^{4/3}$, прямой $y = \frac{8}{3}x - \frac{16}{3}$ и осью абсцисс ($y=0$).

Найдем точки пересечения этих линий. Касательная пересекает ось абсцисс ($y=0$) в точке: $0 = \frac{8}{3}x - \frac{16}{3} \Rightarrow 8x = 16 \Rightarrow x = 2$. График функции $y = x^{4/3}$ пересекает ось абсцисс в точке $x=0$.

3. Вычисление площади.

Площадь искомой фигуры можно представить как площадь под кривой $y = x^{4/3}$ от $x=0$ до $x=8$ за вычетом площади треугольника, который образует касательная с осью абсцисс и вертикальной прямой $x=8$.

Площадь под кривой $y = x^{4/3}$ на отрезке $[0, 8]$ вычисляется с помощью интеграла:

$S_1 = \int_0^8 x^{4/3} \,dx = \left[ \frac{x^{7/3}}{7/3} \right]_0^8 = \left[ \frac{3}{7}x^{7/3} \right]_0^8 = \frac{3}{7} \cdot 8^{7/3} - 0 = \frac{3}{7} \cdot (2^3)^{7/3} = \frac{3}{7} \cdot 2^7 = \frac{3 \cdot 128}{7} = \frac{384}{7}$.

Площадь под касательной на отрезке $[2, 8]$ — это площадь прямоугольного треугольника с вершинами в точках $(2,0)$, $(8,0)$ и $(8,16)$. Основание треугольника равно $8 - 2 = 6$, высота равна $16$.

$S_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 16 = 48$.

Искомая площадь $S$ равна разности $S_1$ и $S_2$:

$S = S_1 - S_2 = \frac{384}{7} - 48 = \frac{384 - 336}{7} = \frac{48}{7}$.

Ответ: $\frac{48}{7}$.

б)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = x\sqrt[4]{x}$, касательной к этому графику в точке $x_0 = 1$ и осью ординат, выполним следующие шаги:

1. Нахождение уравнения касательной.

Представим функцию в виде степени: $f(x) = x \cdot x^{1/4} = x^{5/4}$.

Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Находим значение функции в точке касания $x_0 = 1$:

$f(1) = 1^{5/4} = 1$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (x^{5/4})' = \frac{5}{4}x^{5/4 - 1} = \frac{5}{4}x^{1/4}$.

Находим угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = \frac{5}{4} \cdot 1^{1/4} = \frac{5}{4}$.

Составляем уравнение касательной:

$y = 1 + \frac{5}{4}(x - 1) = 1 + \frac{5}{4}x - \frac{5}{4} = \frac{5}{4}x - \frac{1}{4}$.

2. Вычисление площади.

Фигура ограничена кривой $y = x^{5/4}$, касательной $y = \frac{5}{4}x - \frac{1}{4}$ и осью ординат ($x=0$).

Вторая производная $f''(x) = \frac{5}{16}x^{-3/4} > 0$ для $x>0$, поэтому функция выпукла вниз, и ее график лежит выше касательной (кроме точки касания).

Площадь фигуры находится как интеграл разности между верхней функцией ($y = x^{5/4}$) и нижней функцией (касательная $y = \frac{5}{4}x - \frac{1}{4}$) в пределах от $x=0$ (ось ординат) до $x=1$ (точка касания).

$S = \int_0^1 \left( x^{5/4} - \left(\frac{5}{4}x - \frac{1}{4}\right) \right) \,dx = \int_0^1 \left( x^{5/4} - \frac{5}{4}x + \frac{1}{4} \right) \,dx$.

Вычисляем определенный интеграл:

$S = \left[ \frac{x^{9/4}}{9/4} - \frac{5}{4}\frac{x^2}{2} + \frac{1}{4}x \right]_0^1 = \left[ \frac{4}{9}x^{9/4} - \frac{5}{8}x^2 + \frac{1}{4}x \right]_0^1$.

Подставляем пределы интегрирования:

$S = \left( \frac{4}{9}(1)^{9/4} - \frac{5}{8}(1)^2 + \frac{1}{4}(1) \right) - (0) = \frac{4}{9} - \frac{5}{8} + \frac{1}{4}$.

Приводим дроби к общему знаменателю 72:

$S = \frac{4 \cdot 8}{72} - \frac{5 \cdot 9}{72} + \frac{1 \cdot 18}{72} = \frac{32 - 45 + 18}{72} = \frac{50 - 45}{72} = \frac{5}{72}$.

Ответ: $\frac{5}{72}$.