Номер 21.72, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.72, страница 146.

21.72. a) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3$, касательной к нему в точке $x = 1$ и осью $y$.

б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3$ и касательными к нему в точках $x = 0$ и $x = 1$.

a)

Сначала найдем уравнение касательной к графику функции $y = f(x) = x^3$ в точке $x_0 = 1$. Уравнение касательной в общем виде: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке касания: $f(x_0) = f(1) = 1^3 = 1$. Точка касания — $(1, 1)$.

2. Найдем производную функции: $f'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

3. Найдем значение производной в точке касания (это угловой коэффициент касательной): $f'(x_0) = f'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной: $y = 1 + 3(x - 1)$ $y = 1 + 3x - 3$ $y = 3x - 2$. Это и есть уравнение касательной.

Теперь нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной линиями: $y = x^3$ (график функции), $y = 3x - 2$ (касательная) и $x = 0$ (ось $y$). Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми $y_{верх}(x)$ и $y_{нижн}(x)$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле: $S = \int_a^b (y_{верх}(x) - y_{нижн}(x)) dx$.

Границы интегрирования в данном случае от $x = 0$ до точки касания $x = 1$. Таким образом, $a = 0$, $b = 1$. На интервале $(0, 1)$ функция $y=x^3$ является выпуклой ($f''(x) = 6x > 0$), поэтому ее график лежит выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала. Значит, $y_{верх}(x) = x^3$, а $y_{нижн}(x) = 3x - 2$.

Вычисляем интеграл: $S = \int_0^1 (x^3 - (3x - 2)) dx = \int_0^1 (x^3 - 3x + 2) dx$.

Находим первообразную: $\int (x^3 - 3x + 2) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x + C$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $S = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_0^1 = \left( \frac{1^4}{4} - \frac{3 \cdot 1^2}{2} + 2 \cdot 1 \right) - \left( \frac{0^4}{4} - \frac{3 \cdot 0^2}{2} + 2 \cdot 0 \right) = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2 - 0 = \frac{1}{4} - \frac{6}{4} + \frac{8}{4} = \frac{1 - 6 + 8}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

б)

Найдем уравнения касательных к графику функции $y = x^3$ в точках $x = 0$ и $x = 1$.

1. Касательная в точке $x = 1$: Из пункта а) мы уже знаем ее уравнение: $y_1 = 3x - 2$.

2. Касательная в точке $x = 0$: $f(x) = x^3$, $x_0 = 0$. $f(0) = 0^3 = 0$. $f'(x) = 3x^2 \implies f'(0) = 3 \cdot 0^2 = 0$. Уравнение касательной: $y_0 = f(0) + f'(0)(x-0) = 0 + 0 \cdot x = 0$. Касательная в точке $x=0$ — это ось абсцисс ($y=0$).

Фигура ограничена сверху графиком функции $y = x^3$, а снизу — двумя касательными $y_0 = 0$ и $y_1 = 3x - 2$. Найдем точку пересечения касательных: $0 = 3x - 2 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$.

Таким образом, нижняя граница фигуры состоит из двух отрезков прямых: - на отрезке $[0, \frac{2}{3}]$ нижняя граница — это $y=0$; - на отрезке $[\frac{2}{3}, 1]$ нижняя граница — это $y=3x-2$.

Площадь фигуры можно найти как разность площади под кривой $y=x^3$ на отрезке $[0, 1]$ и суммы площадей под касательными.

1. Площадь под кривой $y = x^3$ от $x=0$ до $x=1$: $S_{верх} = \int_0^1 x^3 dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4}$.

2. Площадь под нижней границей, образованной касательными. Эту площадь можно разбить на две части или заметить, что фигура, ограниченная линиями $y=0$, $y=3x-2$ и $x=1$, является треугольником. Его вершины: точка пересечения касательных $(\frac{2}{3}, 0)$, точка $(1, 0)$ и точка на касательной $y=3x-2$ при $x=1$, то есть $(1, 3(1)-2) = (1, 1)$. Это прямоугольный треугольник с катетами, равными $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ (основание) и $1 - 0 = 1$ (высота). Площадь этого треугольника: $S_{нижн} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{6}$.

Искомая площадь равна разности этих площадей: $S = S_{верх} - S_{нижн} = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12}$.

Альтернативный способ — вычисление через два интеграла: $S = \int_0^{2/3} (x^3 - 0) dx + \int_{2/3}^1 (x^3 - (3x - 2)) dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^{2/3} + \left[\frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x\right]_{2/3}^1$ $= \frac{(2/3)^4}{4} + \left(\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2\right) - \left(\frac{(2/3)^4}{4} - \frac{3(2/3)^2}{2} + 2(\frac{2}{3})\right)$ $= \frac{4}{81} + \frac{3}{4} - \left(\frac{4}{81} - \frac{2}{3} + \frac{4}{3}\right) = \frac{4}{81} + \frac{3}{4} - \left(\frac{4}{81} + \frac{2}{3}\right) = \frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{9-8}{12} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$.