Номер 21.75, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.75, страница 146.

21.75. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ и касательной к нему в точке $x = 3$.

б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3 - 3x$ и касательной к нему в точке $x = -1$.

а) Для того, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ и касательной к нему в точке $x = 3$, необходимо сначала найти уравнение этой касательной.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашем случае $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ и $x_0 = 3$.

1. Найдем значение функции в точке касания:

$f(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 + 1 = 27 - 6 \cdot 9 + 27 + 1 = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(3, 1)$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 9x + 1)' = 3x^2 - 12x + 9$.

3. Найдем значение производной в точке касания (угловой коэффициент касательной):

$f'(3) = 3 \cdot 3^2 - 12 \cdot 3 + 9 = 3 \cdot 9 - 36 + 9 = 27 - 36 + 9 = 0$.

4. Составим уравнение касательной:

$y = 1 + 0 \cdot (x - 3)$, следовательно, $y = 1$.

Теперь найдем точки пересечения графика функции $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ и касательной $y = 1$.

$x^3 - 6x^2 + 9x + 1 = 1$

$x^3 - 6x^2 + 9x = 0$

$x(x^2 - 6x + 9) = 0$

$x(x - 3)^2 = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Это и будут пределы интегрирования.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности функции и касательной в найденных пределах. На интервале $(0, 3)$ график функции находится выше касательной (например, в точке $x=1$ значение функции $y(1)=1-6+9+1=5$, что больше $1$).

$S = \int_{0}^{3} ((x^3 - 6x^2 + 9x + 1) - 1) dx = \int_{0}^{3} (x^3 - 6x^2 + 9x) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left( \frac{x^4}{4} - 6\frac{x^3}{3} + 9\frac{x^2}{2} \right) \Big|_0^3 = \left( \frac{x^4}{4} - 2x^3 + \frac{9}{2}x^2 \right) \Big|_0^3$

$S = \left( \frac{3^4}{4} - 2 \cdot 3^3 + \frac{9}{2} \cdot 3^2 \right) - 0 = \frac{81}{4} - 2 \cdot 27 + \frac{9 \cdot 9}{2} = \frac{81}{4} - 54 + \frac{81}{2}$

$S = \frac{81}{4} - \frac{216}{4} + \frac{162}{4} = \frac{81 - 216 + 162}{4} = \frac{27}{4} = 6.75$

Ответ: $6.75$

б) Найдем площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3 - 3x$ и касательной к нему в точке $x = -1$.

Аналогично пункту а), сначала найдем уравнение касательной к функции $g(x) = x^3 - 3x$ в точке $x_0 = -1$.

1. Значение функции в точке касания:

$g(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$.

Точка касания: $(-1, 2)$.

2. Производная функции:

$g'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$.

3. Значение производной в точке касания:

$g'(-1) = 3(-1)^2 - 3 = 3 \cdot 1 - 3 = 0$.

4. Уравнение касательной:

$y = 2 + 0 \cdot (x - (-1))$, следовательно, $y = 2$.

Найдем точки пересечения графика функции $y = x^3 - 3x$ и касательной $y = 2$.

$x^3 - 3x = 2$

$x^3 - 3x - 2 = 0$

Так как $x = -1$ является точкой касания, то это корень кратности не менее 2. Разделим многочлен $(x^3 - 3x - 2)$ на $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$.

Либо, зная один корень $x = -1$, разделим многочлен на $(x+1)$:

$(x^3 - 3x - 2) : (x+1) = x^2 - x - 2$.

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - x - 2 = 0$. Его корни $x = -1$ и $x = 2$.

Таким образом, исходное уравнение имеет вид $(x+1)^2(x-2) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Это пределы интегрирования.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности касательной и функции (на интервале $(-1, 2)$ касательная $y=2$ находится выше графика функции $y = x^3 - 3x$, что можно проверить, подставив $x=0$: $y(0)=0 < 2$).

$S = \int_{-1}^{2} (2 - (x^3 - 3x)) dx = \int_{-1}^{2} (-x^3 + 3x + 2) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left( -\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + 2x \right) \Big|_{-1}^2$

$S = \left( -\frac{2^4}{4} + \frac{3 \cdot 2^2}{2} + 2 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{(-1)^4}{4} + \frac{3 \cdot (-1)^2}{2} + 2(-1) \right)$

$S = \left( -\frac{16}{4} + \frac{12}{2} + 4 \right) - \left( -\frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 2 \right)$

$S = (-4 + 6 + 4) - \left( -\frac{1}{4} + \frac{6}{4} - \frac{8}{4} \right) = 6 - \left( \frac{-3}{4} \right) = 6 + \frac{3}{4} = \frac{27}{4} = 6.75$

Ответ: $6.75$