Номер 22.3, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 22. Вероятность и геометрия. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 22.3, страница 148.

22.3. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $\sqrt{x} \le 10$. Найдите вероятность того, что оно:

а) является решением неравенства $\sqrt{x} \le 1$;

б) принадлежит области определения функции $y = \ln (40x - 39 - x^2)$;

в) является решением неравенства $\sqrt{x - 10} \le 5$;

г) принадлежит области значений функции $y = 0,5 \sin \left( 2x + \frac{3\pi}{2} \right) + 1$.

Для решения задачи сначала найдем множество всех решений исходного неравенства $\sqrt{x} \le 10$. Это будет наше пространство элементарных исходов.

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства определяется условием $x \ge 0$.
Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt{x})^2 \le 10^2$
$x \le 100$
Объединяя с ОДЗ, получаем, что множество решений исходного неравенства — это отрезок $[0, 100]$.

Это задача на геометрическую вероятность. Мерой (длиной) множества всех возможных исходов является длина отрезка $[0, 100]$, то есть $L = 100 - 0 = 100$. Вероятность события будет равна отношению длины отрезка благоприятных исходов к длине отрезка всех исходов.

а) является решением неравенства $\sqrt{x} \le 1$

Найдем множество решений неравенства $\sqrt{x} \le 1$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Возведем обе части в квадрат: $x \le 1^2$, то есть $x \le 1$.
Решением является отрезок $[0, 1]$.
Множество благоприятных исходов — это пересечение $[0, 100]$ и $[0, 1]$, что равно $[0, 1]$.
Длина отрезка благоприятных исходов $l_a = 1 - 0 = 1$.
Искомая вероятность равна:$P = \frac{l_a}{L} = \frac{1}{100} = 0,01$.

Ответ: $0,01$

б) принадлежит области определения функции $y = \ln(40x - 39 - x^2)$

Найдем область определения функции. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным:
$40x - 39 - x^2 > 0$
Умножим неравенство на $-1$, изменив знак на противоположный:
$x^2 - 40x + 39 < 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 40x + 39 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $40$, а произведение $39$. Корни: $x_1 = 1, x_2 = 39$.
Так как парабола $y = x^2 - 40x + 39$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $x^2 - 40x + 39 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (1, 39)$.
Множество благоприятных исходов — это пересечение $[0, 100]$ и $(1, 39)$, что равно $(1, 39)$.
Длина интервала благоприятных исходов $l_b = 39 - 1 = 38$.
Искомая вероятность равна:$P = \frac{l_b}{L} = \frac{38}{100} = 0,38$.

Ответ: $0,38$

в) является решением неравенства $\sqrt{x - 10} \le 5$

Найдем множество решений неравенства $\sqrt{x - 10} \le 5$.
ОДЗ: $x - 10 \ge 0 \implies x \ge 10$.
Возведем обе части в квадрат: $x - 10 \le 5^2 \implies x - 10 \le 25 \implies x \le 35$.
С учетом ОДЗ, решением является отрезок $[10, 35]$.
Множество благоприятных исходов — это пересечение $[0, 100]$ и $[10, 35]$, что равно $[10, 35]$.
Длина отрезка благоприятных исходов $l_c = 35 - 10 = 25$.
Искомая вероятность равна:$P = \frac{l_c}{L} = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0,25$.

Ответ: $0,25$

г) принадлежит области значений функции $y = 0,5 \sin \left(2x + \frac{3\pi}{2}\right) + 1$

Найдем область значений (множество всех значений $y$) данной функции.
Функция синус принимает значения в диапазоне $[-1, 1]$:$-1 \le \sin \left(2x + \frac{3\pi}{2}\right) \le 1$
Умножим все части двойного неравенства на $0,5$:$-0,5 \le 0,5 \sin \left(2x + \frac{3\pi}{2}\right) \le 0,5$
Прибавим ко всем частям $1$:$-0,5 + 1 \le 0,5 \sin \left(2x + \frac{3\pi}{2}\right) + 1 \le 0,5 + 1$
$0,5 \le y \le 1,5$
Область значений функции — это отрезок $[0,5; 1,5]$.
Нас интересует вероятность того, что случайно выбранное решение $x$ из отрезка $[0, 100]$ само принадлежит отрезку $[0,5; 1,5]$.
Множество благоприятных исходов — это пересечение $[0, 100]$ и $[0,5; 1,5]$, что равно $[0,5; 1,5]$.
Длина отрезка благоприятных исходов $l_d = 1,5 - 0,5 = 1$.
Искомая вероятность равна:$P = \frac{l_d}{L} = \frac{1}{100} = 0,01$.

Ответ: $0,01$