Номер 22.9, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 22. Вероятность и геометрия. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 22.9, страница 149.

22.9. На оси абсцисс случайным образом выбирают точку $B(x; 0)$, $-2 \le x \le 6$, и соединяют её с фиксированной точкой $A(4; 4)$. Какова вероятность того, что угол наклона отрезка $AB$ к положительному направлению оси абсцисс:

а) тупой;

б) меньше $45^\circ$;

в) острый;

г) больше $60^\circ$?

Даны точки $A(4; 4)$ и $B(x; 0)$, где $x$ — случайная величина, равномерно распределенная на отрезке $[-2, 6]$. Длина всего отрезка возможных значений $x$ равна $L = 6 - (-2) = 8$. Это будет знаменателем в формуле геометрической вероятности.

Угол наклона $\alpha$ отрезка $AB$ к положительному направлению оси абсцисс связан с угловым коэффициентом (тангенсом угла наклона) $k$ прямой $AB$ по формуле $k = \tan(\alpha)$. Вычислим угловой коэффициент: $k = \frac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = \frac{4 - 0}{4 - x} = \frac{4}{4 - x}$. Заметим, что при $x=4$ угловой коэффициент не определен, что соответствует вертикальному положению отрезка и углу наклона $90^\circ$. Вероятность попадания в одну точку на непрерывном отрезке равна нулю.

а) тупой

Угол является тупым, если $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. В этом диапазоне тангенс угла отрицателен, то есть $k < 0$. Решим неравенство: $\frac{4}{4 - x} < 0$ Так как числитель $4 > 0$, для выполнения неравенства знаменатель должен быть отрицательным: $4 - x < 0 \implies x > 4$. Нам нужно найти, какая часть отрезка $[-2, 6]$ удовлетворяет условию $x > 4$. Это интервал $(4, 6]$. Длина этого интервала $L_a = 6 - 4 = 2$. Вероятность $P(a)$ равна отношению длины благоприятного интервала к длине всего отрезка: $P(a) = \frac{L_a}{L} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

б) меньше 45°

Угол меньше $45^\circ$ означает, что $0^\circ \le \alpha < 45^\circ$. В этом диапазоне тангенс угла удовлетворяет условию $0 \le \tan(\alpha) < \tan(45^\circ)$, то есть $0 \le k < 1$. Решим систему неравенств: $0 \le \frac{4}{4 - x} < 1$ 1) $\frac{4}{4 - x} \ge 0 \implies 4 - x > 0 \implies x < 4$. 2) $\frac{4}{4 - x} < 1$. Так как из первого неравенства мы знаем, что $4 - x > 0$, можно умножить обе части на $4 - x$, не меняя знака неравенства: $4 < 4 - x \implies x < 0$. Объединяя условия $x < 4$ и $x < 0$, получаем $x < 0$. Нам нужно найти, какая часть отрезка $[-2, 6]$ удовлетворяет условию $x < 0$. Это интервал $[-2, 0)$. Длина этого интервала $L_б = 0 - (-2) = 2$. Вероятность $P(б) = \frac{L_б}{L} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

в) острый

Угол является острым, если $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. В этом диапазоне тангенс угла положителен, то есть $k > 0$. Решим неравенство: $\frac{4}{4 - x} > 0$ Так как числитель $4 > 0$, знаменатель также должен быть положительным: $4 - x > 0 \implies x < 4$. Нам нужно найти, какая часть отрезка $[-2, 6]$ удовлетворяет условию $x < 4$. Это интервал $[-2, 4)$. Длина этого интервала $L_в = 4 - (-2) = 6$. Вероятность $P(в) = \frac{L_в}{L} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$

г) больше 60°

Угол больше $60^\circ$ означает, что $60^\circ < \alpha < 180^\circ$. Это условие разбивается на два случая: 1) Угол острый: $60^\circ < \alpha < 90^\circ$. В этом случае $k > \tan(60^\circ)$, то есть $k > \sqrt{3}$. 2) Угол тупой: $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. В этом случае $k < 0$.

Рассмотрим случай 1: $\frac{4}{4 - x} > \sqrt{3}$. Для выполнения этого неравенства знаменатель $4-x$ должен быть положительным (иначе левая часть будет отрицательной), то есть $x < 4$. Умножим обе части на $4-x$: $4 > \sqrt{3}(4 - x)$ $4 > 4\sqrt{3} - x\sqrt{3}$ $x\sqrt{3} > 4\sqrt{3} - 4$ $x > \frac{4\sqrt{3} - 4}{\sqrt{3}} = 4 - \frac{4}{\sqrt{3}} = 4 - \frac{4\sqrt{3}}{3}$. Итак, для первого случая $4 - \frac{4\sqrt{3}}{3} < x < 4$. Длина этого интервала $L_{г1} = 4 - (4 - \frac{4\sqrt{3}}{3}) = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Рассмотрим случай 2: $k < 0$. Это условие для тупого угла, которое мы уже решили в пункте а). Благоприятный интервал для $x$ — это $(4, 6]$. Его длина $L_{г2} = 6 - 4 = 2$.

Суммарная длина благоприятных интервалов: $L_г = L_{г1} + L_{г2} = \frac{4\sqrt{3}}{3} + 2$. Вероятность $P(г)$ равна: $P(г) = \frac{L_г}{L} = \frac{2 + \frac{4\sqrt{3}}{3}}{8} = \frac{2}{8} + \frac{4\sqrt{3}}{3 \cdot 8} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2\sqrt{3}}{12} = \frac{3 + 2\sqrt{3}}{12}$.
Ответ: $\frac{3 + 2\sqrt{3}}{12}$