Номер 22.12, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 22. Вероятность и геометрия. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 22.12, страница 150.

О22.12. Из отрезка $[-1; 1]$ произвольно выбирают два числа — $x$ и $y$ — и на координатной плоскости отмечают точку $(x; y)$. Какова вероятность того, что:

а) эта точка лежит в первой координатной четверти;

б) $x + y < 0$;

в) эта точка лежит или во второй, или в четвёртой координатной четверти;

г) $x + y > 0$, а $xy < 0$?

Для решения данной задачи воспользуемся методами геометрической вероятности. Поскольку числа $x$ и $y$ выбираются произвольно из отрезка $[-1; 1]$, пространство всех возможных исходов можно представить в виде квадрата на координатной плоскости. Этот квадрат ограничен прямыми $x = -1$, $x = 1$, $y = -1$ и $y = 1$. Вершины этого квадрата находятся в точках $(-1, -1)$, $(1, -1)$, $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

Площадь этого квадрата (общая мера пространства исходов) равна $S_{общ} = (1 - (-1)) \times (1 - (-1)) = 2 \times 2 = 4$.

Вероятность любого события будет равна отношению площади фигуры, соответствующей благоприятным исходам ($S_{бл}$), к общей площади квадрата: $P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}}$.

а) эта точка лежит в первой координатной четверти

Первая координатная четверть определяется условиями $x > 0$ и $y > 0$. В пересечении с нашим исходным квадратом $[-1, 1] \times [-1, 1]$ это образует квадрат, ограниченный прямыми $x=0, x=1, y=0, y=1$.

Площадь этой области (благоприятных исходов) $S_{а}$ равна площади квадрата со стороной 1: $S_{а} = 1 \times 1 = 1$.

Вероятность того, что точка лежит в первой четверти, равна: $P(A) = \frac{S_{а}}{S_{общ}} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

б) $x + y < 0$

Неравенство $x + y < 0$ можно переписать как $y < -x$. Это условие описывает область на координатной плоскости, которая находится ниже прямой $y = -x$.

Прямая $y = -x$ проходит через вершины нашего квадрата $(-1, 1)$ и $(1, -1)$ и делит его ровно на две равные части (два треугольника). Область, удовлетворяющая условию $y < -x$, — это нижний треугольник с вершинами в точках $(-1, -1)$, $(1, -1)$ и $(-1, 1)$... нет, правильные вершины треугольника, являющегося пересечением квадрата и полуплоскости $y < -x$, это $(-1, -1)$, $(1, -1)$ и $(-1, 1)$. Ой, снова ошибка. Вершины треугольника, ограниченного линиями $x=-1$, $y=-1$ и $y=-x$ это $(-1, -1)$, $(1,-1)$ и $(-1,1)$... нет, давайте проще.

Прямая $y = -x$ является диагональю, соединяющей вершины $(-1, 1)$ и $(1, -1)$, и делит квадрат на две равные части. Площадь области благоприятных исходов $S_{б}$ равна половине площади всего квадрата.

$S_{б} = \frac{1}{2} S_{общ} = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.

Вероятность события равна: $P(Б) = \frac{S_{б}}{S_{общ}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) эта точка лежит или во второй, или в четвертой координатной четверти

Точка лежит во второй координатной четверти, если $x < 0$ и $y > 0$. В пересечении с исходным квадратом это область, ограниченная прямыми $x=-1, x=0, y=0, y=1$. Это квадрат со стороной 1 и площадью $1 \times 1 = 1$.

Точка лежит в четвертой координатной четверти, если $x > 0$ и $y < 0$. В пересечении с исходным квадратом это область, ограниченная прямыми $x=0, x=1, y=-1, y=0$. Это также квадрат со стороной 1 и площадью $1 \times 1 = 1$.

Так как эти две области не пересекаются, общая площадь благоприятных исходов $S_{в}$ равна сумме их площадей: $S_{в} = 1 + 1 = 2$.

Вероятность события равна: $P(В) = \frac{S_{в}}{S_{общ}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

г) $x + y > 0$, а $xy < 0$

Это событие является пересечением двух условий:

1. $x + y > 0$, что эквивалентно $y > -x$. Эта область находится выше прямой $y = -x$ и ее площадь внутри квадрата равна 2 (как мы выяснили в пункте б, это половина площади квадрата).

2. $xy < 0$. Это условие выполняется, когда $x$ и $y$ имеют разные знаки, то есть точка $(x;y)$ лежит либо во второй, либо в четвертой координатной четверти. Площадь этой области, как мы выяснили в пункте в, равна 2.

Нам нужно найти площадь пересечения этих двух областей. Рассмотрим каждую из четвертей отдельно.

- Во второй четверти ($x \in [-1, 0), y \in (0, 1]$): здесь условие $y > -x$ описывает область над прямой $y=-x$. Эта область представляет собой треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(0, 1)$ и $(-1, 1)$. Площадь этого треугольника равна $\frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$.

- В четвертой четверти ($x \in (0, 1], y \in [-1, 0)$): здесь условие $y > -x$ также описывает область над прямой $y=-x$. Эта область представляет собой треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(1, 0)$ и $(1, -1)$. Площадь этого треугольника равна $\frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$.

Общая площадь благоприятных исходов $S_{г}$ равна сумме площадей этих двух треугольников: $S_{г} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Вероятность события равна: $P(Г) = \frac{S_{г}}{S_{общ}} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$