Номер 22.18, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 22. Вероятность и геометрия. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 22.18, страница 151.

●22.18. Найдите значение параметра $a$, если известно, что вероятность указанного события равна $0,5$:

а) точка фигуры, ограниченной параболой $y = x^2$, осью абсцисс и прямой $x = 1$, лежит левее прямой $x = a$;

б) точка фигуры, ограниченной графиком функции $y = \frac{1}{x^2}$, осью абсцисс и прямыми $x = 1$, $x = 2$, лежит ниже прямой $y = a$;

в) точка фигуры, ограниченной гиперболой $y = \frac{1}{x}$, осью абсцисс и прямыми $x = 1$, $x = 2$, лежит левее прямой $x = a$;

г) точка фигуры, ограниченной осью ординат, прямой $y = 2$ и графиком функции $y = |x - 1|$, лежит правее прямой $x = a$.

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность события определяется как отношение меры (в данном случае, площади) области, благоприятствующей событию, к мере (площади) всей области. Так как вероятность по условию равна 0,5, то это означает, что искомый параметр $a$ делит площадь указанной фигуры на две равные части.

а) Фигура ограничена параболой $y = x^2$, осью абсцисс ($y=0$) и прямой $x=1$. Поскольку парабола $y=x^2$ пересекает ось абсцисс в точке $x=0$, область определения фигуры по оси $x$ — это отрезок $[0, 1]$.

Найдем общую площадь фигуры $S$ как интеграл от функции $y=x^2$ на отрезке $[0, 1]$:

$S = \int_0^1 x^2 \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$.

Событие состоит в том, что точка фигуры лежит левее прямой $x=a$. Это означает, что абсцисса точки меньше $a$. Очевидно, что $a$ должно находиться в интервале $(0, 1)$. Площадь $S_a$ части фигуры, лежащей левее прямой $x=a$, равна:

$S_a = \int_0^a x^2 \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^a = \frac{a^3}{3}$.

Вероятность этого события равна отношению площадей $P = \frac{S_a}{S}$. По условию, $P = 0,5$.

$\frac{a^3/3}{1/3} = 0,5 \implies a^3 = \frac{1}{2}$.

Отсюда находим $a$: $a = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$.

Ответ: $a = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$.

б) Фигура ограничена графиком функции $y = \frac{1}{x^2}$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x=1$, $x=2$.

Найдем общую площадь фигуры $S$:

$S = \int_1^2 \frac{1}{x^2} \,dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^2 = \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-1\right) = \frac{1}{2}$.

Событие состоит в том, что точка фигуры лежит ниже прямой $y=a$. Это значит, что ордината точки меньше $a$. На отрезке $[1, 2]$ функция $y=\frac{1}{x^2}$ убывает от $y(1)=1$ до $y(2)=\frac{1}{4}$. Следовательно, параметр $a$ должен быть в пределах $[\frac{1}{4}, 1]$.

Площадь $S_a$ части фигуры, лежащей ниже прямой $y=a$, вычисляется как площадь области, ограниченной сверху линией $y = \min(a, \frac{1}{x^2})$. Точка пересечения кривой $y=\frac{1}{x^2}$ и прямой $y=a$ имеет абсциссу $x_0 = \frac{1}{\sqrt{a}}$. При $1 \le x < x_0$ имеем $\frac{1}{x^2} > a$, а при $x_0 < x \le 2$ имеем $\frac{1}{x^2} < a$.

Площадь $S_a$ равна:

$S_a = \int_1^{x_0} a \,dx + \int_{x_0}^2 \frac{1}{x^2} \,dx = [ax]_1^{x_0} + [-\frac{1}{x}]_{x_0}^2 = a(x_0 - 1) + (-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{x_0})) = ax_0 - a - \frac{1}{2} + \frac{1}{x_0}$.

Подставим $x_0 = \frac{1}{\sqrt{a}}$:

$S_a = a\frac{1}{\sqrt{a}} - a - \frac{1}{2} + \sqrt{a} = 2\sqrt{a} - a - \frac{1}{2}$.

Вероятность $P = \frac{S_a}{S} = \frac{2\sqrt{a} - a - 1/2}{1/2} = 4\sqrt{a} - 2a - 1$. По условию $P=0,5$.

$4\sqrt{a} - 2a - 1 = 0,5 \implies 4a - 8\sqrt{a} + 3 = 0$.

Пусть $t = \sqrt{a}$. Получаем квадратное уравнение $4t^2 - 8t + 3 = 0$. Его корни $t_1 = \frac{3}{2}$ и $t_2 = \frac{1}{2}$.

Тогда $\sqrt{a} = \frac{3}{2}$ или $\sqrt{a} = \frac{1}{2}$, что дает $a = \frac{9}{4}$ или $a = \frac{1}{4}$.

Учитывая, что $a \in [\frac{1}{4}, 1]$, подходит только $a=\frac{1}{4}$.

Ответ: $a = \frac{1}{4}$.

в) Фигура ограничена гиперболой $y = \frac{1}{x}$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x=1$, $x=2$.

Найдем общую площадь фигуры $S$:

$S = \int_1^2 \frac{1}{x} \,dx = [\ln|x|]_1^2 = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2)$.

Событие состоит в том, что точка фигуры лежит левее прямой $x=a$. Это значит, что абсцисса точки меньше $a$. Параметр $a$ должен быть в интервале $(1, 2)$. Площадь $S_a$ части фигуры левее $x=a$ равна:

$S_a = \int_1^a \frac{1}{x} \,dx = [\ln|x|]_1^a = \ln(a) - \ln(1) = \ln(a)$.

Вероятность $P = \frac{S_a}{S} = \frac{\ln(a)}{\ln(2)}$. По условию $P=0,5$.

$\frac{\ln(a)}{\ln(2)} = 0,5 \implies \ln(a) = 0,5 \ln(2) = \ln(2^{0,5}) = \ln(\sqrt{2})$.

Отсюда $a = \sqrt{2}$.

Ответ: $a = \sqrt{2}$.

г) Фигура ограничена осью ординат ($x=0$), прямой $y=2$ и графиком функции $y = |x-1|$.

Найдем общую площадь фигуры $S$. Фигура представляет собой область между графиком $y=|x-1|$ (нижняя граница) и прямой $y=2$ (верхняя граница), ограниченную слева осью ординат $x=0$. Правая граница определяется пересечением $y=2$ и $y=|x-1|$, что дает $x=3$.

Площадь фигуры вычислим через интеграл:

$S = \int_0^3 (2 - |x-1|) \,dx = \int_0^1 (2 - (1-x)) \,dx + \int_1^3 (2 - (x-1)) \,dx$

$S = \int_0^1 (1+x) \,dx + \int_1^3 (3-x) \,dx = \left[x + \frac{x^2}{2}\right]_0^1 + \left[3x - \frac{x^2}{2}\right]_1^3$

$S = \left(1 + \frac{1}{2}\right) + \left((9 - \frac{9}{2}) - (3 - \frac{1}{2})\right) = 1,5 + (4,5 - 2,5) = 1,5 + 2 = 3,5$.

Событие состоит в том, что точка фигуры лежит правее прямой $x=a$. Площадь этой части фигуры, $S_a$, должна быть равна половине общей площади: $S_a = 0,5 \cdot S = 0,5 \cdot 3,5 = 1,75$.

Площадь части фигуры правее $x=1$ равна $\int_1^3 (3-x)dx = 2$. Так как $1,75 < 2$, то прямая $x=a$ должна проходить правее прямой $x=1$, то есть $a \in (1, 3)$.

Найдем площадь $S_a$ части фигуры правее прямой $x=a$:

$S_a = \int_a^3 (2 - (x-1)) \,dx = \int_a^3 (3-x) \,dx = \left[3x - \frac{x^2}{2}\right]_a^3 = \left(9 - \frac{9}{2}\right) - \left(3a - \frac{a^2}{2}\right) = 4,5 - 3a + \frac{a^2}{2}$.

Приравняем эту площадь к 1,75:

$4,5 - 3a + \frac{a^2}{2} = 1,75 \implies \frac{a^2}{2} - 3a + 2,75 = 0 \implies 2a^2 - 12a + 11 = 0$.

Решим квадратное уравнение:

$a = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot 11}}{4} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 88}}{4} = \frac{12 \pm \sqrt{56}}{4} = \frac{12 \pm 2\sqrt{14}}{4} = 3 \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$.

Так как $a \in (1, 3)$, а $\sqrt{14} \approx 3,74$, то $3 + \frac{\sqrt{14}}{2} > 3$. Следовательно, нам подходит только корень со знаком минус.

$a = 3 - \frac{\sqrt{14}}{2}$.

Ответ: $a = 3 - \frac{\sqrt{14}}{2}$.