Номер 23.3, страница 152, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 23. Независимые повторения испытаний с двумя исходами. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 23.3, страница 152.

23.3. Найдите вероятность появления хотя бы одного успеха в каждом из случаев а), б), в), г) задачи 23.2.

Для нахождения вероятности появления хотя бы одного успеха в серии независимых испытаний удобно использовать формулу через противоположное событие. Событие $A$ = "произошел хотя бы один успех" является противоположным событию $\bar{A}$ = "не произошло ни одного успеха" (то есть все испытания завершились неудачей).

Вероятность события $A$ вычисляется как $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях не произойдет ни одного успеха, равна $P(\bar{A}) = q^n$, где $q$ — это вероятность неудачи в одном испытании. Таким образом, искомая вероятность: $P(A) = 1 - q^n$.

В задаче 23.2 предлагается провести 10 испытаний, поэтому мы принимаем число испытаний $n = 10$. Для каждого случая определим вероятность неудачи $q$.

а) Успех — выпадение орла при одном бросании монеты.

При бросании монеты есть два равновероятных исхода: орел и решка.
Вероятность успеха (выпадение орла) в одном испытании: $p = 1/2$.
Следовательно, вероятность неудачи (выпадение решки): $q = 1 - p = 1 - 1/2 = 1/2$.
Число испытаний $n = 10$.
Вероятность появления хотя бы одного успеха за 10 бросков равна:
$P(A) = 1 - q^{10} = 1 - (1/2)^{10} = 1 - 1/1024 = 1023/1024$.
Ответ: $1023/1024$.

б) Успех — выпадение шестерки при одном бросании игрального кубика.

При бросании кубика есть шесть равновероятных исходов (выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков).
Вероятность успеха (выпадение шестерки): $p = 1/6$.
Вероятность неудачи (выпадение любого другого числа): $q = 1 - p = 1 - 1/6 = 5/6$.
Число испытаний $n = 10$.
Вероятность появления хотя бы одного успеха за 10 бросков равна:
$P(A) = 1 - q^{10} = 1 - (5/6)^{10}$.
Ответ: $1 - (5/6)^{10}$.

в) Успех — выпадение нечетного числа очков при одном бросании игрального кубика.

Нечетными числами на гранях кубика являются 1, 3, 5. Всего их 3.
Вероятность успеха (выпадение нечетного числа): $p = 3/6 = 1/2$.
Вероятность неудачи (выпадение четного числа): $q = 1 - p = 1 - 1/2 = 1/2$.
Число испытаний $n = 10$.
Вероятность появления хотя бы одного успеха за 10 бросков равна:
$P(A) = 1 - q^{10} = 1 - (1/2)^{10} = 1 - 1/1024 = 1023/1024$.
Ответ: $1023/1024$.

г) Успех — появление туза при случайном выборе одной карты из колоды в 36 карт.

В колоде 36 карт, из которых 4 туза. Предполагается, что после каждого выбора карта возвращается в колоду, чтобы испытания были независимыми.
Вероятность успеха (вытащить туза): $p = 4/36 = 1/9$.
Вероятность неудачи (вытащить не туза): $q = 1 - p = 1 - 1/9 = 8/9$.
Число испытаний $n = 10$.
Вероятность появления хотя бы одного успеха за 10 извлечений равна:
$P(A) = 1 - q^{10} = 1 - (8/9)^{10}$.
Ответ: $1 - (8/9)^{10}$.