Номер 23.4, страница 153, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 23. Независимые повторения испытаний с двумя исходами. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 23.4, страница 153.

23.4. Каждое испытание в задаче 23.1 повторили трижды. Что более вероятно в каждом из случаев а), б), в), г): то, что наступит хотя бы один успех, или то, что наступит хотя бы одна неудача?

Для решения задачи сравним вероятности двух событий: A = {наступит хотя бы один успех} и B = {наступит хотя бы одна неудача} в серии из трех независимых испытаний.

Пусть $p$ — вероятность успеха в одном испытании, а $q=1-p$ — вероятность неудачи. Испытание повторяется трижды.

Вероятность события A (хотя бы один успех) удобнее вычислять через вероятность противоположного события A' = {не наступит ни одного успеха}, то есть {все три испытания завершились неудачей}. Вероятность этого $P(A') = q \cdot q \cdot q = q^3$. Тогда искомая вероятность $P(A) = 1 - P(A') = 1 - q^3$.

Аналогично, вероятность события B (хотя бы одна неудача) вычисляется через вероятность противоположного события B' = {не наступит ни одной неудачи}, то есть {все три испытания завершились успехом}. Вероятность этого $P(B') = p \cdot p \cdot p = p^3$. Тогда искомая вероятность $P(B) = 1 - P(B') = 1 - p^3$.

Теперь сравним $P(A)$ и $P(B)$.

Событие A более вероятно, чем B, если $P(A) > P(B)$, то есть $1 - q^3 > 1 - p^3$. Это неравенство равносильно $-q^3 > -p^3$, или $q^3 < p^3$. Так как функция $y=x^3$ возрастающая, это эквивалентно $q < p$.

Событие B более вероятно, чем A, если $P(B) > P(A)$, что эквивалентно $q > p$.

События A и B равновероятны, если $P(A) = P(B)$, что эквивалентно $q = p$.

Таким образом, чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно для каждого случая из задачи 23.1 определить вероятности успеха $p$ и неудачи $q$ и сравнить их.

а)

В испытании из колоды в 36 карт вынимается одна. Успех — появление карты бубновой масти. В колоде 36 карт, из них 9 карт бубновой масти. Вероятность успеха (вынуть бубновую карту) в одном испытании: $p = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$. Вероятность неудачи (вынуть карту другой масти): $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. Сравниваем вероятности: $p = \frac{1}{4} < q = \frac{3}{4}$. Так как $q > p$, то более вероятно наступление хотя бы одной неудачи. Вероятность хотя бы одного успеха: $P(A) = 1 - q^3 = 1 - (\frac{3}{4})^3 = 1 - \frac{27}{64} = \frac{37}{64}$. Вероятность хотя бы одной неудачи: $P(B) = 1 - p^3 = 1 - (\frac{1}{4})^3 = 1 - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$. Действительно, $\frac{63}{64} > \frac{37}{64}$.
Ответ: более вероятно, что наступит хотя бы одна неудача.

б)

В испытании бросается игральная кость. Успех — выпадение не менее 5 очков (то есть 5 или 6). Всего исходов 6. Благоприятных исходов 2 (выпадение 5 или 6). Вероятность успеха в одном испытании: $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Вероятность неудачи: $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. Сравниваем вероятности: $p = \frac{1}{3} < q = \frac{2}{3}$. Так как $q > p$, то более вероятно наступление хотя бы одной неудачи. Вероятность хотя бы одного успеха: $P(A) = 1 - q^3 = 1 - (\frac{2}{3})^3 = 1 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27}$. Вероятность хотя бы одной неудачи: $P(B) = 1 - p^3 = 1 - (\frac{1}{3})^3 = 1 - \frac{1}{27} = \frac{26}{27}$. Действительно, $\frac{26}{27} > \frac{19}{27}$.
Ответ: более вероятно, что наступит хотя бы одна неудача.

в)

В испытании из ящика, в котором 6 белых и 8 черных шаров, вынимается один шар. Успех — появление белого шара. Всего шаров $6 + 8 = 14$. Белых шаров 6. Вероятность успеха (вынуть белый шар) в одном испытании: $p = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$. Вероятность неудачи (вынуть черный шар): $q = 1 - p = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$. Сравниваем вероятности: $p = \frac{3}{7} < q = \frac{4}{7}$. Так как $q > p$, то более вероятно наступление хотя бы одной неудачи. Вероятность хотя бы одного успеха: $P(A) = 1 - q^3 = 1 - (\frac{4}{7})^3 = 1 - \frac{64}{343} = \frac{279}{343}$. Вероятность хотя бы одной неудачи: $P(B) = 1 - p^3 = 1 - (\frac{3}{7})^3 = 1 - \frac{27}{343} = \frac{316}{343}$. Действительно, $\frac{316}{343} > \frac{279}{343}$.
Ответ: более вероятно, что наступит хотя бы одна неудача.

г)

В испытании производится один выстрел по мишени. Вероятность попадания равна 0,7. Успех — попадание в мишень. Вероятность успеха в одном испытании: $p = 0,7$. Вероятность неудачи (промах): $q = 1 - p = 1 - 0,7 = 0,3$. Сравниваем вероятности: $p = 0,7 > q = 0,3$. Так как $p > q$, то более вероятно наступление хотя бы одного успеха. Вероятность хотя бы одного успеха: $P(A) = 1 - q^3 = 1 - (0,3)^3 = 1 - 0,027 = 0,973$. Вероятность хотя бы одной неудачи: $P(B) = 1 - p^3 = 1 - (0,7)^3 = 1 - 0,343 = 0,657$. Действительно, $0,973 > 0,657$.
Ответ: более вероятно, что наступит хотя бы один успех.