Номер 23.11, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 23. Независимые повторения испытаний с двумя исходами. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 23.11, страница 154.

◦23.11. a) Используя результаты задачи 23.10, составьте таблицу из двух строк: в первой строке запишите варианты количества возможных попаданий стрелка в мишень, во второй — их вероятности. Вычислите и запишите недостающие значения вероятностей.

б) Изобразите многоугольник распределения, откладывая по оси абсцисс число попаданий $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ в мишень, а по оси ординат — вероятности $P_5(k)$.

Для решения задачи необходимо использовать данные из предыдущей задачи (23.10), которые, как правило, в данном контексте следующие: проводится серия из $n=5$ независимых испытаний (выстрелов). Вероятность успеха (попадания) в каждом испытании постоянна и равна $p=0.8$.

Вероятность промаха в каждом испытании равна $q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях будет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ - число сочетаний.

а)

Составим таблицу распределения для числа попаданий $k$, где $k$ может принимать значения от 0 до 5. Для этого вычислим вероятности $P_5(k)$ для каждого возможного значения $k$.

• k = 0 (нет попаданий):
  $P_5(0) = C_5^0 \cdot (0.8)^0 \cdot (0.2)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.00032 = 0.00032$
• k = 1 (одно попадание):
  $P_5(1) = C_5^1 \cdot (0.8)^1 \cdot (0.2)^4 = 5 \cdot 0.8 \cdot 0.0016 = 0.0064$
• k = 2 (два попадания):
  $P_5(2) = C_5^2 \cdot (0.8)^2 \cdot (0.2)^3 = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 0.64 \cdot 0.008 = 10 \cdot 0.64 \cdot 0.008 = 0.0512$
• k = 3 (три попадания):
  $P_5(3) = C_5^3 \cdot (0.8)^3 \cdot (0.2)^2 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 0.512 \cdot 0.04 = 10 \cdot 0.512 \cdot 0.04 = 0.2048$
• k = 4 (четыре попадания):
  $P_5(4) = C_5^4 \cdot (0.8)^4 \cdot (0.2)^1 = 5 \cdot 0.4096 \cdot 0.2 = 0.4096$
• k = 5 (пять попаданий):
  $P_5(5) = C_5^5 \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^0 = 1 \cdot 0.32768 \cdot 1 = 0.32768$

Проверка: сумма всех вероятностей должна быть равна 1.
$0.00032 + 0.0064 + 0.0512 + 0.2048 + 0.4096 + 0.32768 = 1$. Вычисления верны.

Теперь составим требуемую таблицу.

Ответ:

Число попаданий, k	0	1	2	3	4	5
Вероятность, $P_5(k)$	0.00032	0.0064	0.0512	0.2048	0.4096	0.32768

б)

Многоугольник распределения — это ломаная линия, соединяющая точки с координатами $(k, P_5(k))$. В нашем случае это точки:
(0; 0.00032), (1; 0.0064), (2; 0.0512), (3; 0.2048), (4; 0.4096), (5; 0.32768).

Изобразим эти точки на координатной плоскости и соединим их отрезками.

Ответ: Многоугольник распределения вероятностей изображен на графике выше.