Номер 23.7, страница 153, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 23. Независимые повторения испытаний с двумя исходами. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 23.7, страница 153.

23.7. Шахматисты А и Б играют несколько партий. Шансы на победу каждого из них в отдельной партии считаются равными. Какой результат $А : Б$ оценивается как более вероятный:

a) $2 : 2$ или $3 : 1$ в четырёх партиях;

б) $2 : 2$ в четырёх партиях или $3 : 3$ в шести партиях;

в) $3 : 1$ в четырёх партиях или $4 : 2$ в шести партиях;

г) $2 : 3$ в пяти партиях или $3 : 3$ в шести партиях?

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу Бернулли, так как каждая партия является независимым испытанием с двумя равновероятными исходами (победа игрока А или победа игрока Б). Вероятность победы каждого игрока в одной партии $p = 0.5$.

Вероятность того, что в $n$ партиях игрок А одержит ровно $k$ побед (и, соответственно, игрок Б одержит $n-k$ побед), вычисляется по формуле:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Поскольку $p = 0.5$, формула упрощается до:

$P_n(k) = C_n^k \cdot (0.5)^k \cdot (0.5)^{n-k} = C_n^k \cdot (0.5)^n$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

а) 2 : 2 или 3 : 1 в четырёх партиях;

В обоих случаях играется $n=4$ партии. Нам нужно сравнить вероятности двух исходов.

1. Вероятность счёта 2:2 (игрок А выигрывает $k=2$ партии из 4):

$P_4(2) = C_4^2 \cdot (0.5)^4 = \frac{4!}{2!(4-2)!} \cdot \frac{1}{16} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{16} = 6 \cdot \frac{1}{16} = \frac{6}{16}$

2. Вероятность счёта 3:1 (игрок А выигрывает $k=3$ партии из 4):

$P_4(3) = C_4^3 \cdot (0.5)^4 = \frac{4!}{3!(4-3)!} \cdot \frac{1}{16} = \frac{4}{1} \cdot \frac{1}{16} = 4 \cdot \frac{1}{16} = \frac{4}{16}$

Сравнивая вероятности, видим, что $\frac{6}{16} > \frac{4}{16}$. Следовательно, счёт 2:2 более вероятен.

Ответ: результат 2 : 2 более вероятный.

б) 2 : 2 в четырёх партиях или 3 : 3 в шести партиях;

1. Вероятность счёта 2:2 в 4 партиях мы уже вычислили в пункте а):

$P_4(2) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

2. Вероятность счёта 3:3 в 6 партиях ($n=6$, $k=3$):

$P_6(3) = C_6^3 \cdot (0.5)^6 = \frac{6!}{3!(6-3)!} \cdot \frac{1}{64} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{64} = 20 \cdot \frac{1}{64} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}$

Сравним вероятности: $\frac{3}{8}$ и $\frac{5}{16}$. Приведем к общему знаменателю: $\frac{3}{8} = \frac{6}{16}$.

Так как $\frac{6}{16} > \frac{5}{16}$, счёт 2:2 в четырёх партиях более вероятен.

Ответ: результат 2 : 2 в четырёх партиях более вероятный.

в) 3 : 1 в четырёх партиях или 4 : 2 в шести партиях;

1. Вероятность счёта 3:1 в 4 партиях мы уже вычислили в пункте а):

$P_4(3) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

2. Вероятность счёта 4:2 в 6 партиях ($n=6$, $k=4$):

$P_6(4) = C_6^4 \cdot (0.5)^6 = \frac{6!}{4!(6-4)!} \cdot \frac{1}{64} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{64} = 15 \cdot \frac{1}{64} = \frac{15}{64}$

Сравним вероятности: $\frac{1}{4}$ и $\frac{15}{64}$. Приведем к общему знаменателю: $\frac{1}{4} = \frac{16}{64}$.

Так как $\frac{16}{64} > \frac{15}{64}$, счёт 3:1 в четырёх партиях более вероятен.

Ответ: результат 3 : 1 в четырёх партиях более вероятный.

г) 2 : 3 в пяти партиях или 3 : 3 в шести партиях?

1. Вероятность счёта 2:3 в 5 партиях (игрок А выигрывает $k=2$ партии из $n=5$):

$P_5(2) = C_5^2 \cdot (0.5)^5 = \frac{5!}{2!(5-2)!} \cdot \frac{1}{32} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{32} = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$

2. Вероятность счёта 3:3 в 6 партиях мы уже вычислили в пункте б):

$P_6(3) = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}$

Сравнивая вероятности, видим, что $\frac{5}{16} = \frac{5}{16}$. Вероятности этих двух результатов равны.

Ответ: эти результаты равновероятны.