Номер 23.12, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 23. Независимые повторения испытаний с двумя исходами. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 23.12, страница 154.

○23.12. При восьми бросаниях монеты орёл может выпасть $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ раз.

а) Найдите соответствующие вероятности $P_8(k)$ (в процентах).

б) Составьте таблицу распределения вероятностей.

в) Составьте многоугольник распределения вероятностей.

г) Найдите наивероятнейшее число выпадений орла.

Данная задача описывается схемой испытаний Бернулли. У нас есть $n=8$ независимых испытаний (бросание монеты). В каждом испытании есть два исхода: "орёл" (успех) и "решка" (неудача). Вероятность успеха (выпадения орла) в одном испытании $p = 0.5$. Вероятность неудачи (выпадения решки) $q = 1 - p = 0.5$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях успех наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

В нашем случае $n=8$, $p=0.5$, $q=0.5$. Формула упрощается:

$P_8(k) = C_8^k (0.5)^k (0.5)^{8-k} = C_8^k (0.5)^8 = \frac{C_8^k}{2^8} = \frac{C_8^k}{256}$

а) Найдите соответствующие вероятности P₈(k) (в процентах).

Вычислим значения $C_8^k$ и $P_8(k)$ для всех возможных $k$ от 0 до 8.

• $k=0$: $C_8^0 = 1$. $P_8(0) = \frac{1}{256} \approx 0.00390625$. В процентах: $0.390625\%$.
• $k=1$: $C_8^1 = 8$. $P_8(1) = \frac{8}{256} = \frac{1}{32} = 0.03125$. В процентах: $3.125\%$.
• $k=2$: $C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28$. $P_8(2) = \frac{28}{256} = \frac{7}{64} = 0.109375$. В процентах: $10.9375\%$.
• $k=3$: $C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$. $P_8(3) = \frac{56}{256} = \frac{7}{32} = 0.21875$. В процентах: $21.875\%$.
• $k=4$: $C_8^4 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$. $P_8(4) = \frac{70}{256} = \frac{35}{128} \approx 0.2734375$. В процентах: $27.34375\%$.

Поскольку $C_n^k = C_n^{n-k}$, вероятности для $k > 4$ будут симметричны:

• $k=5$: $C_8^5 = C_8^3 = 56$. $P_8(5) = \frac{56}{256} = 21.875\%$.
• $k=6$: $C_8^6 = C_8^2 = 28$. $P_8(6) = \frac{28}{256} = 10.9375\%$.
• $k=7$: $C_8^7 = C_8^1 = 8$. $P_8(7) = \frac{8}{256} = 3.125\%$.
• $k=8$: $C_8^8 = C_8^0 = 1$. $P_8(8) = \frac{1}{256} = 0.390625\%$.

Сумма всех вероятностей: $\frac{1+8+28+56+70+56+28+8+1}{256} = \frac{256}{256} = 1$, что соответствует $100\%$.

Ответ: Вероятности выпадения орла $k$ раз (в процентах):

$P_8(0) = 0.390625\%$;
$P_8(1) = 3.125\%$;
$P_8(2) = 10.9375\%$;
$P_8(3) = 21.875\%$;
$P_8(4) = 27.34375\%$;
$P_8(5) = 21.875\%$;
$P_8(6) = 10.9375\%$;
$P_8(7) = 3.125\%$;
$P_8(8) = 0.390625\%$.

б) Составьте таблицу распределения вероятностей.

Таблица распределения для случайной величины $k$ (число выпадений орла) и соответствующих вероятностей $P_8(k)$:

$k$ (число орлов)	0	1	2	3	4	5	6	7	8
$P_8(k), \%$	0.390625	3.125	10.9375	21.875	27.34375	21.875	10.9375	3.125	0.390625

Ответ: Таблица распределения вероятностей представлена выше.

в) Составьте многоугольник распределения вероятностей.

Многоугольник распределения строится в системе координат, где по оси абсцисс откладываются значения случайной величины $k$, а по оси ординат — соответствующие вероятности $P_8(k)$. Точки $(k, P_8(k))$ соединяются отрезками.

Ответ: Многоугольник распределения вероятностей представлен на графике выше.

г) Найдите наивероятнейшее число выпадений орла.

Наивероятнейшее число событий в серии испытаний Бернулли — это значение $k$, при котором вероятность $P_n(k)$ достигает своего максимума. Такое значение называется модой распределения.

Из таблицы распределения (пункт б) или из расчетов (пункт а) видно, что максимальная вероятность соответствует $k=4$:

$P_8(4) = 27.34375\%$

Это значение больше всех остальных вероятностей. Также для биномиального распределения наивероятнейшее число успехов $k_0$ удовлетворяет неравенству $np - q \le k_0 \le np + p$. В нашем случае $n=8, p=0.5, q=0.5$, поэтому $8 \cdot 0.5 - 0.5 \le k_0 \le 8 \cdot 0.5 + 0.5$, что дает $3.5 \le k_0 \le 4.5$. Единственное целое число в этом интервале — это 4.

Ответ: Наивероятнейшее число выпадений орла равно 4.