Номер 23.19, страница 155, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 23. Независимые повторения испытаний с двумя исходами. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 23.19, страница 155.

23.19. В $n$ испытаниях Бернулли наивероятнейшим числом успехов оказались числа $k$ и $k + 1$. Найдите вероятность успеха в одном из этих испытаний Бернулли, если известно, что:

а) $n = 9, k = 7$;

б) $n = 99, k = 70$;

в) $n = 999, k = 699$;

г) $n = 999, k = 7$.

Пусть $p$ — искомая вероятность успеха в одном испытании Бернулли. Вероятность того, что в $n$ испытаниях произойдет ровно $m$ успехов, определяется формулой Бернулли:

$P_n(m) = C_n^m p^m (1-p)^{n-m}$, где $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$.

Наивероятнейшее число успехов $k_0$ удовлетворяет двойному неравенству:

$np - (1-p) \le k_0 \le np + p$, или, что то же самое, $(n+1)p - 1 \le k_0 \le (n+1)p$.

Если величина $(n+1)p$ не является целым числом, то существует только одно наивероятнейшее число успехов $k_0 = \lfloor (n+1)p \rfloor$.

Если же величина $(n+1)p$ является целым числом, то существует два наивероятнейших числа успехов: $k$ и $k+1$. В этом случае их вероятности равны: $P_n(k) = P_n(k+1)$, и при этом $k+1 = (n+1)p$.

По условию задачи, наивероятнейшими числами успехов являются $k$ и $k+1$. Это означает, что выполняется равенство:

$P_n(k) = P_n(k+1)$

$C_n^k p^k (1-p)^{n-k} = C_n^{k+1} p^{k+1} (1-p)^{n-k-1}$

$\frac{n!}{k!(n-k)!} p^k (1-p)^{n-k} = \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} p^{k+1} (1-p)^{n-k-1}$

Разделим обе части уравнения на $p^k (1-p)^{n-k-1}$ (поскольку $0 < p < 1$):

$\frac{n!}{k!(n-k)!} (1-p) = \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} p$

Используя то, что $(n-k)! = (n-k)(n-k-1)!$ и $(k+1)! = (k+1)k!$, после сокращения общих множителей $\frac{n!}{k!(n-k-1)!}$ получаем:

$\frac{1}{n-k} (1-p) = \frac{1}{k+1} p$

Решим это уравнение относительно $p$:

$(k+1)(1-p) = (n-k)p$

$k+1 - (k+1)p = np - kp$

$k+1 - kp - p = np - kp$

$k+1 - p = np$

$k+1 = np + p$

$k+1 = (n+1)p$

Отсюда находим искомую вероятность успеха $p$:

$p = \frac{k+1}{n+1}$

Теперь, используя эту формулу, решим каждую из подзадач.

а) n = 9, k = 7;

Подставляем данные значения в выведенную формулу:$p = \frac{k+1}{n+1} = \frac{7+1}{9+1} = \frac{8}{10} = 0,8$.Ответ: $p = 0,8$.

б) n = 99, k = 70;

Подставляем данные значения в формулу:$p = \frac{k+1}{n+1} = \frac{70+1}{99+1} = \frac{71}{100} = 0,71$.Ответ: $p = 0,71$.

в) n = 999, k = 699;

Подставляем данные значения в формулу:$p = \frac{k+1}{n+1} = \frac{699+1}{999+1} = \frac{700}{1000} = 0,7$.Ответ: $p = 0,7$.

г) n = 999, k = 7.

Подставляем данные значения в формулу:$p = \frac{k+1}{n+1} = \frac{7+1}{999+1} = \frac{8}{1000} = 0,008$.Ответ: $p = 0,008$.