Номер 23.20, страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 23. Независимые повторения испытаний с двумя исходами. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 23.20, страница 156.

23.20. В $n$ испытаниях Бернулли наивероятнейшим числом успехов оказалось единственное число $k$. Оцените, в каких пределах может находиться вероятность неудачи в одном из этих испытаний Бернулли, если известно, что:

a) $n = 9, k = 3$;

б) $n = 999, k = 300$;

в) $n = 99, k = 30$;

г) $n = 99, k = 3$.

Пусть $p$ — вероятность успеха в одном испытании Бернулли, а $q=1-p$ — вероятность неудачи. Наивероятнейшее число успехов $k$ в $n$ испытаниях удовлетворяет двойному неравенству:

$np - q \le k \le np + p$

Преобразуем это неравенство, чтобы выразить $p$:

$(n+1)p - 1 \le k \le (n+1)p$

Отсюда получаем:

$\frac{k}{n+1} \le p \le \frac{k+1}{n+1}$

В условии задачи сказано, что наивероятнейшее число успехов $k$ является единственным. Это означает, что значение $(n+1)p$ не является целым числом. Если бы $(n+1)p$ было целым, то было бы два наивероятнейших числа: $(n+1)p$ и $(n+1)p - 1$. Таким образом, неравенства становятся строгими:

$\frac{k}{n+1} < p < \frac{k+1}{n+1}$

Нас интересует вероятность неудачи $q = 1-p$. Выразим ее из полученного неравенства:

$1 - \frac{k+1}{n+1} < 1-p < 1 - \frac{k}{n+1}$

$\frac{n+1-(k+1)}{n+1} < q < \frac{n+1-k}{n+1}$

$\frac{n-k}{n+1} < q < \frac{n+1-k}{n+1}$

Теперь применим эту формулу для каждого из случаев.

а) n = 9, k = 3

Подставляем значения в полученное неравенство:

$\frac{9-3}{9+1} < q < \frac{9+1-3}{9+1}$

$\frac{6}{10} < q < \frac{7}{10}$

$0.6 < q < 0.7$

Ответ: $q \in (0.6; 0.7)$.

б) n = 999, k = 300

Подставляем значения в неравенство:

$\frac{999-300}{999+1} < q < \frac{999+1-300}{999+1}$

$\frac{699}{1000} < q < \frac{700}{1000}$

$0.699 < q < 0.7$

Ответ: $q \in (0.699; 0.7)$.

в) n = 99, k = 30

Подставляем значения в неравенство:

$\frac{99-30}{99+1} < q < \frac{99+1-30}{99+1}$

$\frac{69}{100} < q < \frac{70}{100}$

$0.69 < q < 0.7$

Ответ: $q \in (0.69; 0.7)$.

г) n = 99, k = 3

Подставляем значения в неравенство:

$\frac{99-3}{99+1} < q < \frac{99+1-3}{99+1}$

$\frac{96}{100} < q < \frac{97}{100}$

$0.96 < q < 0.97$

Ответ: $q \in (0.96; 0.97)$.