Номер 23.17, страница 155, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 23. Независимые повторения испытаний с двумя исходами. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 23.17, страница 155.

23.17. В соответствии с техническими нормативами вероятность выпуска стандартной детали без дефектов оценивается в $95\%$. Найдите наивероятнейшее число бракованных деталей среди $n$ выпущенных деталей, если:

a) $n = 1119$;

б) $n = 1120$;

в) $n = 20m + 19$;

г) $n = 20(m + 1)$.

Пусть событие $A$ — «выпущенная деталь бракованная». Вероятность того, что деталь стандартная (без дефектов), составляет 95%, то есть $P(\bar{A}) = 0.95$. Следовательно, вероятность того, что деталь бракованная, $p$, равна:$p = P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 0.95 = 0.05$.

Процесс выпуска деталей можно рассматривать как серию из $n$ независимых испытаний Бернулли, где «успехом» считается выпуск бракованной детали. Число $k$ бракованных деталей среди $n$ выпущенных подчиняется биномиальному распределению. Наивероятнейшее число успехов $k_0$ в биномиальном распределении с параметрами $n$ (число испытаний) и $p$ (вероятность успеха) определяется из двойного неравенства:$np - q \le k_0 \le np + p$,где $q = 1 - p$ — вероятность «неудачи».

В нашей задаче $p = 0.05$ и $q = 1 - 0.05 = 0.95$. Неравенство для $k_0$ принимает вид:$n \cdot 0.05 - 0.95 \le k_0 \le n \cdot 0.05 + 0.05$.

а) При $n = 1119$ подставим это значение в неравенство:$1119 \cdot 0.05 - 0.95 \le k_0 \le 1119 \cdot 0.05 + 0.05$$55.95 - 0.95 \le k_0 \le 55.95 + 0.05$$55 \le k_0 \le 56$Так как правая граница $np + p = 56$ является целым числом, существует два наивероятнейших значения для числа бракованных деталей: 55 и 56.
Ответ: 55 или 56.

б) При $n = 1120$ подставим это значение в неравенство:$1120 \cdot 0.05 - 0.95 \le k_0 \le 1120 \cdot 0.05 + 0.05$$56 - 0.95 \le k_0 \le 56 + 0.05$$55.05 \le k_0 \le 56.05$Единственное целое число $k_0$, удовлетворяющее этому неравенству, — это 56.
Ответ: 56.

в) При $n = 20m + 19$ (где $m$ — целое неотрицательное число), подставим $n$ в неравенство. Удобно использовать $p = 0.05 = 1/20$:$np + p = (20m + 19) \cdot \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{20m + 19 + 1}{20} = \frac{20(m+1)}{20} = m + 1$.Тогда левая часть неравенства: $np - q = (np+p) - 1 = (m+1) - 1 = m$.Неравенство для $k_0$ принимает вид: $m \le k_0 \le m + 1$.Так как правая граница $np+p = m+1$ является целым числом, существует два наивероятнейших значения.
Ответ: $m$ или $m+1$.

г) При $n = 20(m + 1)$ (где $m$ — целое неотрицательное число), подставим $n$ в неравенство:$np + p = 20(m + 1) \cdot 0.05 + 0.05 = (m + 1) + 0.05 = m + 1.05$.Тогда левая часть неравенства: $np - q = (np+p) - 1 = (m+1.05) - 1 = m + 0.05$.Неравенство для $k_0$ принимает вид: $m + 0.05 \le k_0 \le m + 1.05$.Единственное целое число $k_0$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $m+1$.
Ответ: $m+1$.