Номер 23.16, страница 155, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 23. Независимые повторения испытаний с двумя исходами. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 23.16, страница 155.

23.16. Даны две концентрические окружности с радиусами 1 и 2 соответственно. На меньшей окружности отмечена точка $P$. В кольце между окружностями наудачу выбраны точки $A$ и $B$. Найдите вероятность того, что:

а) отрезок $AP$ имеет с меньшей окружностью только одну общую точку $P$;

б) отрезки $AP$ и $BP$ пересекают меньшую окружность в точках, отличных от точки $P$;

в) хотя бы один из отрезков $AP$ и $BP$ пересекает меньшую окружность в точке, отличной от точки $P$;

г) оба отрезка $AP$ и $BP$ имеют с меньшей окружностью только одну общую точку $P$.

Для решения задачи используется метод геометрической вероятности. Вероятность события определяется как отношение площади благоприятной области к площади всей области возможных исходов.

Пусть центр концентрических окружностей находится в начале координат $O(0,0)$. Радиус меньшей окружности $r=1$, большей — $R=2$. Точки $A$ и $B$ выбираются случайным образом в кольце между этими окружностями. Площадь этого кольца (пространства элементарных исходов) равна: $S_{кольца} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(2^2 - 1^2) = 3\pi$.

Без ограничения общности разместим точку $P$ на меньшей окружности в положении $(1, 0)$.

Ключевым для решения задачи является правильная интерпретация условий. Буквальное прочтение условий приводит к тривиальным ответам (вероятности 0 или 1), что маловероятно для задачи такого типа. Наиболее правдоподобная интерпретация заключается в том, что под "меньшей окружностью" подразумевается "меньший круг" (диск радиуса 1, включая его границу), а фраза "пересекает ... в точках, отличных от P" означает, что отрезок входит внутрь этого круга.

Таким образом, условие "отрезок AP имеет с меньшей окружностью только одну общую точку P" мы будем трактовать как "отрезок AP не пересекает внутренность малого круга". Это происходит тогда и только тогда, когда угол $\angle OPA$ не является тупым, то есть $\angle OPA \le 90^\circ$.

Пусть точка $A$ имеет координаты $(x, y)$. Вектор $\vec{PO}$ имеет координаты $(-1, 0)$, а вектор $\vec{PA}$ имеет координаты $(x-1, y)$. Условие $\angle OPA \le 90^\circ$ эквивалентно неотрицательности скалярного произведения векторов $\vec{PO}$ и $\vec{PA}$: $\vec{PO} \cdot \vec{PA} \ge 0$ $(-1)(x-1) + (0)(y) \ge 0$ $1-x \ge 0 \implies x \le 1$.

Итак, для одного произвольно выбранного в кольце очка $A(x,y)$ мы ищем вероятность того, что его координата $x \le 1$. Обозначим это событие как $C_A$. Вероятность этого события, $p = P(C_A)$, равна отношению площади благоприятной области к общей площади кольца.

Проще найти площадь неблагоприятной области, где $x > 1$. Эта область $U$ определяется условиями $1 \le x^2+y^2 \le 4$ и $x > 1$. Так как из $x>1$ следует $x^2 > 1$ и $x^2+y^2 > 1$, условие $1 \le x^2+y^2$ выполняется автоматически. Таким образом, область $U$ — это часть круга радиуса 2, ограниченная прямой $x=1$. Площадь этой области (сегмента круга) равна разности площади сектора и площади треугольника.

Сектор большого круга ограничен лучами, образующими с осью Ox углы $\pm \alpha$, где $\cos \alpha = 1/2$, то есть $\alpha = \pi/3$. Угол сектора равен $2\alpha = 2\pi/3$. Площадь сектора: $S_{сектор} = \frac{1}{2}R^2(2\alpha) = \frac{1}{2}(2^2)\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$. Треугольник, который нужно вычесть, имеет вершины в точках $(0,0)$, $(1, \sqrt{3})$ и $(1, -\sqrt{3})$. Его площадь: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}$.

Площадь неблагоприятной области: $S_{небл} = S_{сектор} - S_{\triangle} = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$. Площадь благоприятной области: $S_{бл} = S_{кольца} - S_{небл} = 3\pi - (\frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}) = \frac{5\pi}{3} + \sqrt{3}$.

Вероятность $p$ того, что для одной точки $A$ выполняется условие $x \le 1$: $p = P(C_A) = \frac{S_{бл}}{S_{кольца}} = \frac{\frac{5\pi}{3} + \sqrt{3}}{3\pi} = \frac{5}{9} + \frac{\sqrt{3}}{3\pi}$.

Вероятность комплементарного события $\bar{C}_A$ (отрезок $AP$ пересекает внутренность малого круга, $x>1$): $1-p = P(\bar{C}_A) = \frac{S_{небл}}{S_{кольца}} = \frac{\frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}}{3\pi} = \frac{4}{9} - \frac{\sqrt{3}}{3\pi}$.

Поскольку точки $A$ и $B$ выбираются независимо, вероятности для них одинаковы, и события, связанные с $A$ и $B$, независимы.

а) отрезок AP имеет с меньшей окружностью только одну общую точку P;

Это событие $C_A$. Его вероятность мы рассчитали выше.

Ответ: $p = \frac{5}{9} + \frac{\sqrt{3}}{3\pi}$.

б) отрезки AP и BP пересекают меньшую окружность в точках, отличных от точки P;

Это событие означает, что и отрезок $AP$, и отрезок $BP$ пересекают внутренность малого круга. Это соответствует событию $\bar{C}_A \cap \bar{C}_B$. В силу независимости, вероятность равна произведению вероятностей.

$P(\bar{C}_A \cap \bar{C}_B) = P(\bar{C}_A) \cdot P(\bar{C}_B) = (1-p)^2 = \left(\frac{4}{9} - \frac{\sqrt{3}}{3\pi}\right)^2 = \frac{16}{81} - \frac{8\sqrt{3}}{27\pi} + \frac{3}{9\pi^2} = \frac{16}{81} - \frac{8\sqrt{3}}{27\pi} + \frac{1}{3\pi^2}$.

Ответ: $\left(\frac{4}{9} - \frac{\sqrt{3}}{3\pi}\right)^2 = \frac{16}{81} - \frac{8\sqrt{3}}{27\pi} + \frac{1}{3\pi^2}$.

в) хотя бы один из отрезков AP и BP пересекает меньшую окружность в точке, отличной от точки P;

Это событие $\bar{C}_A \cup \bar{C}_B$. Проще найти вероятность противоположного события (ни один из отрезков не пересекает внутренность круга, то есть $C_A \cap C_B$) и вычесть ее из 1.

$P(C_A \cap C_B) = P(C_A) \cdot P(C_B) = p^2$.

$P(\bar{C}_A \cup \bar{C}_B) = 1 - P(C_A \cap C_B) = 1 - p^2 = 1 - \left(\frac{5}{9} + \frac{\sqrt{3}}{3\pi}\right)^2 = 1 - \left(\frac{25}{81} + \frac{10\sqrt{3}}{27\pi} + \frac{1}{3\pi^2}\right) = \frac{56}{81} - \frac{10\sqrt{3}}{27\pi} - \frac{1}{3\pi^2}$.

Ответ: $1 - \left(\frac{5}{9} + \frac{\sqrt{3}}{3\pi}\right)^2 = \frac{56}{81} - \frac{10\sqrt{3}}{27\pi} - \frac{1}{3\pi^2}$.

г) оба отрезка AP и BP имеют с меньшей окружностью только одну общую точку P.

Это событие $C_A \cap C_B$. Его вероятность равна $p^2$.

$P(C_A \cap C_B) = p^2 = \left(\frac{5}{9} + \frac{\sqrt{3}}{3\pi}\right)^2 = \frac{25}{81} + \frac{10\sqrt{3}}{27\pi} + \frac{3}{9\pi^2} = \frac{25}{81} + \frac{10\sqrt{3}}{27\pi} + \frac{1}{3\pi^2}$.

Ответ: $\left(\frac{5}{9} + \frac{\sqrt{3}}{3\pi}\right)^2 = \frac{25}{81} + \frac{10\sqrt{3}}{27\pi} + \frac{1}{3\pi^2}$.