Номер 23.13, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 23. Независимые повторения испытаний с двумя исходами. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 23.13, страница 154.

23.13. Вершины квадрата лежат на сторонах правильного треугольника. В треугольнике независимым образом поочерёдно выбирают четыре точки. Найдите вероятность того, что:

а) все точки окажутся в квадрате;

б) в квадрате и вне квадрата точек окажется поровну;

в) ни одна из точек не окажется в квадрате;

г) хотя бы одна точка окажется в квадрате.

Для решения задачи сначала определим вероятность попадания одной случайно выбранной точки в квадрат. Эта вероятность, по определению геометрической вероятности, равна отношению площади квадрата к площади треугольника.

Пусть $a$ — сторона правильного треугольника. Его площадь $S_T$ равна:

$S_T = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Теперь найдем площадь вписанного квадрата. Пусть сторона квадрата равна $x$. Одна сторона квадрата лежит на стороне треугольника. Высота треугольника, опущенная на эту сторону, равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Вершины квадрата, не лежащие на этой стороне, делят две другие стороны треугольника. Маленький треугольник, отсекаемый верхней стороной квадрата, подобен исходному большому треугольнику.

Высота маленького треугольника равна $h - x$, а его основание равно стороне квадрата $x$. Из подобия треугольников имеем соотношение:

$\frac{x}{a} = \frac{h-x}{h}$

$xh = a(h-x) \Rightarrow xh = ah - ax \Rightarrow x(h+a) = ah \Rightarrow x = \frac{ah}{h+a}$

Подставим значение высоты $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$:

$x = \frac{a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2} + a} = \frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{2}}{a(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1)} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{3}+2}{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$

Площадь квадрата $S_S$ равна $x^2$:

$S_S = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{3a^2}{(2+\sqrt{3})^2}$

Теперь найдем вероятность $p$ того, что одна точка попадет в квадрат:

$p = \frac{S_S}{S_T} = \frac{\frac{3a^2}{(2+\sqrt{3})^2}}{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}} = \frac{12}{\sqrt{3}(2+\sqrt{3})^2} = \frac{12}{\sqrt{3}(4+4\sqrt{3}+3)} = \frac{12}{\sqrt{3}(7+4\sqrt{3})} = \frac{12}{7\sqrt{3}+12}$

Упростим это выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(7\sqrt{3}-12)$:

$p = \frac{12(7\sqrt{3}-12)}{(7\sqrt{3}+12)(7\sqrt{3}-12)} = \frac{12(7\sqrt{3}-12)}{(7\sqrt{3})^2 - 12^2} = \frac{12(7\sqrt{3}-12)}{49 \cdot 3 - 144} = \frac{12(7\sqrt{3}-12)}{147-144} = \frac{12(7\sqrt{3}-12)}{3} = 4(7\sqrt{3}-12) = 28\sqrt{3}-48$

Вероятность $q$ того, что точка не попадет в квадрат, равна $1-p$:

$q = 1 - (28\sqrt{3}-48) = 49-28\sqrt{3}$

Выбор четырех точек является серией из $n=4$ независимых испытаний Бернулли. Вероятность того, что ровно $k$ точек попадут в квадрат, вычисляется по формуле:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Для удобства вычислений представим $p$ и $q$ в виде дробей с одинаковым знаменателем. Заметим, что $(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3}) = 49-48=1$.

$p = 28\sqrt{3}-48 = \frac{4\sqrt{3}(7\sqrt{3}-12)}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{7+4\sqrt{3}}}$ - это неверно. Проверим: $p = 28\sqrt{3}-48 = (28\sqrt{3}-48)\frac{7+4\sqrt{3}}{7+4\sqrt{3}} = \frac{196\sqrt{3}[phone]\sqrt{3}}{7+4\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{7+4\sqrt{3}}$ - это верно.

$p = \frac{4\sqrt{3}}{7+4\sqrt{3}}$

$q = 1-p = 1 - \frac{4\sqrt{3}}{7+4\sqrt{3}} = \frac{7+4\sqrt{3}-4\sqrt{3}}{7+4\sqrt{3}} = \frac{7}{7+4\sqrt{3}}$

Теперь решим подпункты задачи.

а) все точки окажутся в квадрате;

Это соответствует случаю $k=4$. Вероятность этого события $P(A)$ равна:

$P(A) = P_4(4) = C_4^4 p^4 q^0 = p^4$

$p^4 = \left(\frac{4\sqrt{3}}{7+4\sqrt{3}}\right)^4 = \frac{(4\sqrt{3})^4}{(7+4\sqrt{3})^4} = \frac{4^4 (\sqrt{3})^4}{(7+4\sqrt{3})^4} = \frac{256 \cdot 9}{(7+4\sqrt{3})^4} = \frac{2304}{(7+4\sqrt{3})^4}$

Вычислим знаменатель:

$(7+4\sqrt{3})^2 = 7^2 + 2 \cdot 7 \cdot 4\sqrt{3} + (4\sqrt{3})^2 = 49 + 56\sqrt{3} + 48 = 97+56\sqrt{3}$

$(7+4\sqrt{3})^4 = (97+56\sqrt{3})^2 = 97^2 + 2 \cdot 97 \cdot 56\sqrt{3} + (56\sqrt{3})^2 = 9409 + 10864\sqrt{3} + 9408 = 18817+10864\sqrt{3}$

$P(A) = \frac{2304}{18817+10864\sqrt{3}}$

Ответ: $\frac{2304}{18817+10864\sqrt{3}}$

б) в квадрате и вне квадрата точек окажется поровну;

Это означает, что 2 точки окажутся в квадрате ($k=2$) и 2 вне его. Вероятность этого события $P(B)$ равна:

$P(B) = P_4(2) = C_4^2 p^2 q^2 = \frac{4!}{2!2!} p^2 q^2 = 6 p^2 q^2$

$p^2 = \left(\frac{4\sqrt{3}}{7+4\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{16 \cdot 3}{(7+4\sqrt{3})^2} = \frac{48}{97+56\sqrt{3}}$

$q^2 = \left(\frac{7}{7+4\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{49}{(7+4\sqrt{3})^2} = \frac{49}{97+56\sqrt{3}}$

$P(B) = 6 \cdot \frac{48}{97+56\sqrt{3}} \cdot \frac{49}{97+56\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot 48 \cdot 49}{(97+56\sqrt{3})^2} = \frac{14112}{18817+10864\sqrt{3}}$

Ответ: $\frac{14112}{18817+10864\sqrt{3}}$

в) ни одна из точек не окажется в квадрате;

Это соответствует случаю $k=0$. Вероятность этого события $P(C)$ равна:

$P(C) = P_4(0) = C_4^0 p^0 q^4 = q^4$

$q^4 = \left(\frac{7}{7+4\sqrt{3}}\right)^4 = \frac{7^4}{(7+4\sqrt{3})^4} = \frac{2401}{18817+10864\sqrt{3}}$

Ответ: $\frac{2401}{18817+10864\sqrt{3}}$

г) хотя бы одна точка окажется в квадрате.

Это событие, противоположное событию "ни одна из точек не окажется в квадрате". Его вероятность $P(D)$ равна $1 - P(C)$:

$P(D) = 1 - q^4 = 1 - \frac{2401}{18817+10864\sqrt{3}} = \frac{18817+10864\sqrt{3}-2401}{18817+10864\sqrt{3}} = \frac{16416+10864\sqrt{3}}{18817+10864\sqrt{3}}$

Ответ: $\frac{16416+10864\sqrt{3}}{18817+10864\sqrt{3}}$