Номер 23.6, страница 153, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 23. Независимые повторения испытаний с двумя исходами. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 23.6, страница 153.

23.6. Какова вероятность того, что при $n$ бросаниях двух различных игральных костей хотя бы один раз выпадет пара шестёрок, если:

а) $n = 1$;

б) $n = 2$;

в) $n = 3$;

г) $n = 10$?

Для решения этой задачи удобнее всего найти вероятность противоположного события, а именно, что при $n$ бросаниях двух костей пара шестёрок не выпадет ни разу. Затем, вычтя эту вероятность из 1, мы получим искомую вероятность.

Сначала определим вероятность выпадения пары шестёрок при одном бросании двух костей. Всего существует $6 \times 6 = 36$ равновозможных исходов. Единственный исход, который нас интересует (пара шестёрок), это (6, 6). Таким образом, вероятность выпадения пары шестёрок в одном броске равна $p = \frac{1}{36}$.

Вероятность того, что пара шестёрок не выпадет в одном броске, равна $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$.

Поскольку все $n$ бросков являются независимыми событиями, вероятность того, что пара шестёрок не выпадет ни разу за $n$ бросков, равна $q^n = \left(\frac{35}{36}\right)^n$.

Следовательно, вероятность того, что при $n$ бросаниях хотя бы один раз выпадет пара шестёрок, равна $P_n = 1 - q^n = 1 - \left(\frac{35}{36}\right)^n$.

Теперь рассчитаем эту вероятность для каждого заданного значения $n$.

а) При $n = 1$:

Вероятность того, что пара шестёрок выпадет хотя бы один раз за один бросок, равна вероятности ее выпадения в этом единственном броске.

$P_1 = 1 - \left(\frac{35}{36}\right)^1 = 1 - \frac{35}{36} = \frac{1}{36}$.

Ответ: $\frac{1}{36}$

б) При $n = 2$:

$P_2 = 1 - \left(\frac{35}{36}\right)^2 = 1 - \frac{35^2}{36^2} = 1 - \frac{1225}{1296} = \frac{1296 - 1225}{1296} = \frac{71}{1296}$.

Ответ: $\frac{71}{1296}$

в) При $n = 3$:

$P_3 = 1 - \left(\frac{35}{36}\right)^3 = 1 - \frac{35^3}{36^3} = 1 - \frac{42875}{46656} = \frac{46656 - 42875}{46656} = \frac{3781}{46656}$.

Ответ: $\frac{3781}{46656}$

г) При $n = 10$:

$P_{10} = 1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{10}$.

Для таких больших степеней принято оставлять ответ в виде выражения, не вычисляя точное значение дроби.

Ответ: $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{10}$