Номер 23.8, страница 153, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 23. Независимые повторения испытаний с двумя исходами. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 23.8, страница 153.

23.8. Хоккейные команды А и Б играют в финальной стадии «play-off». Шансы на победу команды А в отдельной встрече оцениваются в 40%. Какова вероятность того, что после четырёх встреч результат А : Б будет:

а) 0 : 4;

б) 2 : 2;

в) 3 : 1;

г) в пользу команды А?

Обозначим вероятность победы команды А в одной встрече как $p$, а вероятность победы команды Б как $q$. По условию задачи, шансы на победу команды А оцениваются в 40%, следовательно, $p = 0.4$. Поскольку в хоккейном матче в стадии «play-off» ничьих не бывает, то вероятность победы команды Б составляет $q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6$.

Серия состоит из $n=4$ встреч. Так как исходы отдельных встреч являются независимыми событиями, для расчета вероятностей мы можем использовать формулу Бернулли. Эта формула определяет вероятность того, что в $n$ независимых испытаниях событие с вероятностью $p$ произойдет ровно $k$ раз: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – это биномиальный коэффициент, или число сочетаний из $n$ по $k$.

а) 0 : 4

Результат 0:4 в пользу команды Б означает, что команда А не выиграла ни одной встречи ($k=0$), а команда Б выиграла все четыре. Подставим значения в формулу Бернулли: $n=4$, $k=0$, $p=0.4$, $q=0.6$. $P_4(0) = C_4^0 \cdot (0.4)^0 \cdot (0.6)^{4-0} = \frac{4!}{0!(4-0)!} \cdot 1 \cdot (0.6)^4$ $P_4(0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.1296 = 0.1296$.

Ответ: $0.1296$

б) 2 : 2

Результат 2:2 означает, что была зафиксирована ничья по итогам серии, то есть команда А выиграла ровно две встречи ($k=2$) из четырех. Вычисляем вероятность для $n=4$, $k=2$: $P_4(2) = C_4^2 \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^{4-2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^2$ $C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$. $P_4(2) = 6 \cdot 0.16 \cdot 0.36 = 0.3456$.

Ответ: $0.3456$

в) 3 : 1

Результат 3:1 в пользу команды А означает, что команда А выиграла ровно три встречи ($k=3$) из четырех. Вычисляем вероятность для $n=4$, $k=3$: $P_4(3) = C_4^3 \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^{4-3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^1$ $C_4^3 = \frac{4}{1} = 4$. $P_4(3) = 4 \cdot 0.064 \cdot 0.6 = 0.1536$.

Ответ: $0.1536$

г) в пользу команды А

Результат "в пользу команды А" означает, что команда А выиграла больше встреч, чем команда Б. В серии из четырех игр это возможно при счете 3:1 или 4:0. Вероятность такого исхода равна сумме вероятностей этих двух несовместных событий, так как они не могут произойти одновременно. Вероятность счета 3:1 мы уже вычислили в пункте в): $P_4(3) = 0.1536$. Теперь вычислим вероятность счета 4:0 (команда А выигрывает все 4 встречи, $k=4$): $P_4(4) = C_4^4 \cdot (0.4)^4 \cdot (0.6)^{4-4} = \frac{4!}{4!(4-4)!} \cdot (0.4)^4 \cdot (0.6)^0 = 1 \cdot 0.0256 \cdot 1 = 0.0256$. Суммарная вероятность победы команды А в серии: $P(\text{в пользу А}) = P_4(3) + P_4(4) = 0.1536 + 0.0256 = 0.1792$.

Ответ: $0.1792$