Номер 23.15, страница 155, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 23. Независимые повторения испытаний с двумя исходами. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 23.15, страница 155.

23.15. Даны два концентрических шара радиусов 1 и 2 соответственно. В большем шаре независимым образом поочередно выбирают 3 точки. Найдите вероятность того, что:

а) все точки окажутся в меньшем шаре;

б) вне меньшего шара окажется ровно одна точка;

в) ни одна из точек не окажется в меньшем шаре;

г) хотя бы одна точка окажется в меньшем шаре.

Для решения этой задачи по геометрической вероятности, нам сначала нужно найти объемы шаров. Вероятность попадания точки в определенную область внутри большего шара равна отношению объема этой области к общему объему большего шара.

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Пусть $r_1 = 1$ — радиус меньшего шара, а $r_2 = 2$ — радиус большего шара.

Объем меньшего шара: $V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3 = \frac{4}{3}\pi (1)^3 = \frac{4}{3}\pi$.

Объем большего шара: $V_2 = \frac{4}{3}\pi r_2^3 = \frac{4}{3}\pi (2)^3 = \frac{32}{3}\pi$.

Вероятность того, что одна случайно выбранная в большом шаре точка окажется в меньшем шаре, равна:

$p = \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi}{\frac{32}{3}\pi} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$.

Соответственно, вероятность того, что одна случайно выбранная точка окажется вне меньшего шара (но внутри большего), равна:

$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.

Поскольку точки выбираются независимо, мы можем использовать эти вероятности для решения каждого пункта задачи.

а) все точки окажутся в меньшем шаре;

Это означает, что каждая из трех точек должна попасть в меньший шар. Так как события независимы, мы перемножаем их вероятности.

Вероятность этого события $P(A)$ равна $p \cdot p \cdot p = p^3$.

$P(A) = \left(\frac{1}{8}\right)^3 = \frac{1}{512}$.

Ответ: $\frac{1}{512}$.

б) вне меньшего шара окажется ровно одна точка;

Это означает, что одна точка окажется вне меньшего шара (с вероятностью $q$), а две другие — внутри него (каждая с вероятностью $p$). Существует три варианта, какая именно из трех точек окажется вне: первая, вторая или третья. Это можно рассчитать по формуле Бернулли для $k=1$ "неуспеха" (попадания вне) из $n=3$ испытаний. Или, что то же самое, $k=2$ "успеха" (попадания внутрь).

Количество комбинаций, при которых одна точка из трех окажется вне, равно $\binom{3}{1} = 3$.

Вероятность для каждой такой комбинации равна $q \cdot p \cdot p = qp^2$.

Итоговая вероятность $P(B) = \binom{3}{1} \cdot q \cdot p^2 = 3 \cdot \frac{7}{8} \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^2 = 3 \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{64} = \frac{21}{512}$.

Ответ: $\frac{21}{512}$.

в) ни одна из точек не окажется в меньшем шаре;

Это означает, что все три точки окажутся вне меньшего шара. Вероятность этого события $P(C)$ равна $q \cdot q \cdot q = q^3$.

$P(C) = \left(\frac{7}{8}\right)^3 = \frac{7^3}{8^3} = \frac{343}{512}$.

Ответ: $\frac{343}{512}$.

г) хотя бы одна точка окажется в меньшем шаре.

Событие "хотя бы одна точка окажется в меньшем шаре" является противоположным событию "ни одна из точек не окажется в меньшем шаре" (которое мы рассчитали в пункте в)).

Поэтому вероятность этого события $P(D)$ можно найти как $1 - P(C)$.

$P(D) = 1 - \frac{343}{512} = \frac{512 - 343}{512} = \frac{169}{512}$.

Ответ: $\frac{169}{512}$.