Номер 24.2, страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 24. Статистические методы обработки информации. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 24.2, страница 156.

24.2. а) Составьте таблицу распределения кратностей вариант.

б) Нарисуйте многоугольник распределения кратностей.

в) Составьте таблицу распределения частот и нарисуйте многоугольник распределения частот.

г) Для процентных частот нарисуйте гистограмму распределения с шириной столбцов, равной 1.

Поскольку в условии задачи не предоставлен исходный ряд данных (выборка), для демонстрации решения будет использован следующий примерный набор данных.

Предположим, у нас есть результаты контрольной работы 20 студентов, оценки которых составляют следующую выборку:

4, 5, 3, 4, 2, 3, 4, 5, 5, 3, 2, 4, 4, 3, 5, 4, 3, 2, 4, 5.

Объем выборки $N = 20$.

а) Составьте таблицу распределения кратностей вариант.

Для составления таблицы распределения необходимо определить уникальные значения в выборке (варианты) и посчитать, сколько раз каждое из них встречается (кратность или абсолютная частота).

1. Сначала найдем все уникальные варианты в нашем ряду данных. Это оценки: 2, 3, 4, 5.

2. Теперь посчитаем кратность ($n_i$) для каждой варианты ($x_i$):

• Оценка «2» ($x_1=2$) встречается 3 раза, следовательно, ее кратность $n_1 = 3$.
• Оценка «3» ($x_2=3$) встречается 5 раз, следовательно, ее кратность $n_2 = 5$.
• Оценка «4» ($x_3=4$) встречается 7 раз, следовательно, ее кратность $n_3 = 7$.
• Оценка «5» ($x_4=5$) встречается 5 раз, следовательно, ее кратность $n_4 = 5$.

Проверим, что сумма всех кратностей равна объему выборки: $3 + 5 + 7 + 5 = 20$.

3. Занесем эти данные в таблицу.

Ответ:

Варианта ($x_i$)	Кратность ($n_i$)
2	3
3	5
4	7
5	5
Итого	20

б) Нарисуйте многоугольник распределения кратностей.

Многоугольник распределения кратностей (полигон частот) строится в системе координат. По оси абсцисс (X) откладываются значения вариант, а по оси ординат (Y) — их кратности. Точки с координатами $(x_i, n_i)$ соединяются отрезками.

Точки для построения, согласно таблице из пункта а):

• (2, 3)
• (3, 5)
• (4, 7)
• (5, 5)

Ответ:

Ниже представлен график многоугольника распределения кратностей. Это ломаная линия, последовательно соединяющая точки (2, 3), (3, 5), (4, 7) и (5, 5).

в) Составьте таблицу распределения частот и нарисуйте многоугольник распределения частот.

Частота (относительная частота) $W_i$ вычисляется как отношение кратности варианты $n_i$ к общему объему выборки $N$. Формула: $W_i = \frac{n_i}{N}$. В нашем случае $N=20$.

Рассчитаем частоты для каждой варианты:

• Для $x_1 = 2$: $W_1 = \frac{3}{20} = 0.15$
• Для $x_2 = 3$: $W_2 = \frac{5}{20} = 0.25$
• Для $x_3 = 4$: $W_3 = \frac{7}{20} = 0.35$
• Для $x_4 = 5$: $W_4 = \frac{5}{20} = 0.25$

Сумма всех частот равна $0.15 + 0.25 + 0.35 + 0.25 = 1.00$.

Составим таблицу распределения частот. Многоугольник распределения частот строится аналогично многоугольнику кратностей, но по оси ординат откладываются относительные частоты $W_i$.

Ответ:

Таблица распределения частот:

Варианта ($x_i$)	Кратность ($n_i$)	Частота ($W_i$)
2	3	0.15
3	5	0.25
4	7	0.35
5	5	0.25
Итого	20	1.00

Многоугольник распределения частот:

Это ломаная линия, соединяющая точки с координатами (2, 0.15), (3, 0.25), (4, 0.35) и (5, 0.25).

г) Для процентных частот нарисуйте гистограмму распределения с шириной столбцов, равной 1.

Процентная частота $P_i$ получается умножением относительной частоты $W_i$ на 100%.

• $P_1 = 0.15 \times 100\% = 15\%$
• $P_2 = 0.25 \times 100\% = 25\%$
• $P_3 = 0.35 \times 100\% = 35\%$
• $P_4 = 0.25 \times 100\% = 25\%$

Гистограмма — это столбчатая диаграмма. Для дискретных данных с заданной шириной столбца 1, каждый столбец будет центрирован на значении варианты. По оси Y откладывается процентная частота.

• Для $x=2$ (интервал [1.5, 2.5]): высота столбца 15%.
• Для $x=3$ (интервал [2.5, 3.5]): высота столбца 25%.
• Для $x=4$ (интервал [3.5, 4.5]): высота столбца 35%.
• Для $x=5$ (интервал [4.5, 5.5]): высота столбца 25%.

Ответ:

Гистограмма распределения процентных частот представляет собой набор смежных прямоугольников. Высоты прямоугольников соответствуют процентным частотам вариант.