Номер 24.9, страница 158, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 24. Статистические методы обработки информации. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 24.9, страница 158.

24.9. Требуется восстановить сводную таблицу распределения данных некоторого измерения по следующей информации:

Варианта	№ 1	№ 2	№ 3	№ 4	Всего: 4 варианты
Кратность		$k$		$2k$	Сумма = 100
Частота					Сумма =
Частота, %	$3k$	$k^2 - 7k - 33$			Сумма = %

а) С какого столбца следует начать восстановление данных?

б) Составьте уравнение, связывающее данные, выбранные в пункте а).

в) Решите это уравнение и найдите значение $k$.

г) Заполните всю таблицу.

а) С какого столбца следует начать восстановление данных?

Для восстановления таблицы необходимо найти связь между ее строками. Обозначим кратность варианты как $n_i$, частоту как $f_i$, а частоту в процентах как $f_i\%$. Общее количество измерений (сумма всех кратностей) равно $N$.

Связь между этими величинами определяется формулами:
Частота: $f_i = \frac{n_i}{N}$
Частота в процентах: $f_i\% = f_i \times 100\% = \frac{n_i}{N} \times 100\%$

Из условия задачи, в столбце "Всего" указано, что сумма кратностей равна 100. Таким образом, $N = 100$.
Подставив это значение в формулу для процентной частоты, получаем:
$f_i\% = \frac{n_i}{100} \times 100\% = n_i$.
Это означает, что для каждой варианты числовое значение кратности ($n_i$) совпадает с числовым значением ее частоты в процентах ($f_i\%$).

В столбце "№ 2" приведены выражения и для кратности ($k$), и для частоты в процентах ($k^2 - 7k - 33$). Поскольку эти значения должны быть равны, мы можем составить уравнение с одной неизвестной $k$. В других столбцах недостаточно данных для составления уравнения.

Ответ: Восстановление данных следует начать со столбца "№ 2".

б) Составьте уравнение, связывающее данные, выбранные в пункте а).

Как установлено в пункте а), для любой варианты в данной таблице кратность численно равна частоте в процентах. Для варианты "№ 2" имеем:

Кратность: $n_2 = k$
Частота, %: $f_2\% = k^2 - 7k - 33$

Приравнивая эти два выражения, получаем искомое уравнение:

$k = k^2 - 7k - 33$

Ответ: Уравнение, связывающее данные из столбца "№ 2", имеет вид $k = k^2 - 7k - 33$.

в) Решите это уравнение и найдите значение k.

Преобразуем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$k^2 - 7k - k - 33 = 0$
$k^2 - 8k - 33 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-33) = 64 + 132 = 196$
$\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$

Найдем корни уравнения:

$k_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 14}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$k_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 14}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Кратность (частота появления события) не может быть отрицательной величиной. Проверим полученные значения $k$ на это условие. В таблице есть кратности, выраженные через $k$: $n_2 = k$ и $n_4 = 2k$.

Если $k = -3$, то кратность варианты № 2 будет $n_2 = -3$, что невозможно.

Если $k = 11$, то кратности будут $n_2 = 11$ и $n_4 = 2 \cdot 11 = 22$. Эти значения являются допустимыми.

Ответ: $k = 11$.

г) Заполните всю таблицу.

Используя найденное значение $k=11$ и общее число измерений $N=100$, последовательно рассчитаем все недостающие значения в таблице.

1. Варианта № 1:
Частота, %: $f_1\% = 3k = 3 \cdot 11 = 33$.
Кратность: $n_1 = f_1\% = 33$.
Частота: $f_1 = n_1 / N = 33 / 100 = 0.33$.

2. Варианта № 2:
Кратность: $n_2 = k = 11$.
Частота, %: $f_2\% = n_2 = 11$.
Частота: $f_2 = n_2 / N = 11 / 100 = 0.11$.

3. Варианта № 4:
Кратность: $n_4 = 2k = 2 \cdot 11 = 22$.
Частота, %: $f_4\% = n_4 = 22$.
Частота: $f_4 = n_4 / N = 22 / 100 = 0.22$.

4. Варианта № 3:
Найдем кратность $n_3$, зная, что сумма всех кратностей равна 100:
$n_3 = N - (n_1 + n_2 + n_4) = 100 - (33 + 11 + 22) = 100 - 66 = 34$.
Частота, %: $f_3\% = n_3 = 34$.
Частота: $f_3 = n_3 / N = 34 / 100 = 0.34$.

5. Столбец "Всего":
Сумма кратностей: $33+11+34+22 = 100$.
Сумма частот: $0.33+0.11+0.34+0.22 = 1.00$.
Сумма частот, %: $33+11+34+22 = 100$.

Ответ:

Варианта	№ 1	№ 2	№ 3	№ 4	Всего: 4 варианты
Кратность	33	11	34	22	Сумма = 100
Частота	0.33	0.11	0.34	0.22	Сумма = 1
Частота, %	33	11	34	22	Сумма = 100 %