Номер 24.5, страница 157, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 24. Статистические методы обработки информации. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 24.5, страница 157.

24.5. Отметки «2» и «3» не позволяют получать стипендию, будем считать их «нулевыми» (для получения стипендии). Отметки «4» и «5» будем считать «единичными». Для распределения отметок по категориям «нулевые» и «единичные»:

а) составьте таблицы распределения кратностей и частот;

б) постройте гистограмму распределения с шириной столбцов, равной 1;

в) вычислите моду и среднее значение;

г) вычислите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Поскольку в условии задачи не предоставлен исходный набор данных (выборка отметок), для решения воспользуемся гипотетическим набором из 20 отметок:

Исходные отметки: {5, 4, 3, 4, 5, 2, 4, 3, 5, 5, 4, 4, 3, 2, 4, 5, 4, 3, 4, 5}.

Согласно условию, отметки «2» и «3» считаются «нулевыми» (значение 0), а отметки «4» и «5» — «единичными» (значение 1). После преобразования получаем следующую выборку бинарных значений:

{1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1}.

Общий объем выборки $n = 20$.

В этой выборке:

• Количество «нулевых» значений (0): $n_0 = 6$
• Количество «единичных» значений (1): $n_1 = 14$

а) составьте таблицы распределения кратностей и частот;

Кратность — это абсолютное количество раз, которое встречается значение в выборке. Частота (или относительная частота) — это отношение кратности к общему объему выборки ($W_i = n_i / n$).

Для значения 0: кратность $n_0 = 6$, частота $W_0 = 6 / 20 = 0.3$.

Для значения 1: кратность $n_1 = 14$, частота $W_1 = 14 / 20 = 0.7$.

Сведем данные в таблицу.

Ответ:

Категория ($x_i$)	Кратность ($n_i$)	Частота ($W_i$)
0 (нулевая)	6	0.3
1 (единичная)	14	0.7
Итого	20	1.0

б) постройте гистограмму распределения с шириной столбцов, равной 1;

Для дискретного распределения строим столбчатую диаграмму, где высота каждого столбца соответствует кратности (частоте) значения. По оси X откладываются значения (0 и 1), по оси Y — кратности.

Ответ:

Гистограмма распределения кратностей

14 6 0 $n_i$

6

14

0

1

$x_i$

в) вычислите моду и среднее значение;

Мода ($M_o$) — это значение в выборке, которое встречается наиболее часто. Сравнивая кратности $n_0 = 6$ и $n_1 = 14$, видим, что значение 1 встречается чаще.

Среднее значение ($\bar{x}$) для дискретного ряда распределения вычисляется по формуле:

$\bar{x} = \frac{\sum x_i n_i}{n} = \frac{x_0 n_0 + x_1 n_1}{n}$

Подставляем наши данные:

$\bar{x} = \frac{(0 \cdot 6) + (1 \cdot 14)}{20} = \frac{0 + 14}{20} = \frac{14}{20} = 0.7$

Ответ: Мода $M_o = 1$; среднее значение $\bar{x} = 0.7$.

г) вычислите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия ($D$) — это мера разброса данных вокруг среднего значения. Она вычисляется как средний квадрат отклонений значений от их среднего. Формула для дискретного ряда:

$D = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 n_i}{n}$

Используя найденное среднее $\bar{x} = 0.7$:

$D = \frac{(0 - 0.7)^2 \cdot 6 + (1 - 0.7)^2 \cdot 14}{20} = \frac{(-0.7)^2 \cdot 6 + (0.3)^2 \cdot 14}{20}$

$D = \frac{0.49 \cdot 6 + 0.09 \cdot 14}{20} = \frac{2.94 + 1.26}{20} = \frac{4.2}{20} = 0.21$

Среднее квадратическое отклонение ($\sigma$) — это корень квадратный из дисперсии. Оно показывает, насколько в среднем значения отклоняются от центра распределения.

$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{0.21} \approx 0.458$

Ответ: Дисперсия $D = 0.21$; среднее квадратическое отклонение $\sigma \approx 0.458$.