Номер 24.10, страница 158, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 24. Статистические методы обработки информации. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 24.10, страница 158.

24.10. Дана сводная таблица распределения результатов некоторого измерения:

Вариант	№ 1	№ 2	№ 3	№ 4	Всего: 4 варианты
Кратность		$x$	$y$	$x + y$	Сумма = 50
Частота					Сумма =
Частота, %		$23x - 105$	$y^2 - y - 70$		Сумма = %

a) Найдите $x$.

б) Найдите $y$.

в) Восстановите всю таблицу.

г) Найдите моду этого распределения.

Для решения задачи воспользуемся основными понятиями статистики.
Кратность (или абсолютная частота) варианты — это число, которое показывает, сколько раз эта варианта встретилась в совокупности данных. Обозначим кратность для варианты $i$ как $k_i$.
Объем совокупности $N$ — это сумма всех кратностей. В данной задаче $N = 50$.
Частота (или относительная частота) варианты — это отношение кратности варианты к объему совокупности: $f_i = \frac{k_i}{N}$. Сумма всех частот равна 1.
Частота в процентах — это относительная частота, умноженная на 100: $p_i = f_i \times 100\% = \frac{k_i}{N} \times 100\%$. Сумма всех процентных частот равна 100%.

Для нашей задачи, где $N=50$, связь между кратностью $k_i$ и частотой в процентах $p_i$ выражается формулой:
$p_i = \frac{k_i}{50} \times 100 = 2k_i$.
Это ключевое соотношение для нахождения неизвестных $x$ и $y$.

а) Найдите x.

Для варианты № 2 из таблицы известны кратность $k_2 = x$ и частота в процентах $p_2 = 23x - 105$.
Используя выведенное соотношение $p_2 = 2k_2$, составим уравнение:
$23x - 105 = 2x$
Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а числовые значения в другую:
$23x - 2x = 105$
$21x = 105$
$x = \frac{105}{21}$
$x = 5$
Проверим: кратность $k_2 = 5$. Частота в процентах $p_2 = 2 \times 5 = 10\%$. По формуле из таблицы: $p_2 = 23(5) - 105 = 115 - 105 = 10\%$. Значения совпадают.
Ответ: $x=5$.

б) Найдите y.

Для варианты № 3 из таблицы известны кратность $k_3 = y$ и частота в процентах $p_3 = y^2 - y - 70$.
Используя соотношение $p_3 = 2k_3$, составим уравнение:
$y^2 - y - 70 = 2y$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$y^2 - y - 2y - 70 = 0$
$y^2 - 3y - 70 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: ищем два числа, произведение которых равно -70, а сумма равна 3. Это числа 10 и -7.
Корни уравнения: $y_1 = 10$ и $y_2 = -7$.
Так как $y$ представляет собой кратность (количество повторений варианты), это значение не может быть отрицательным. Следовательно, единственно возможный корень — это $y=10$.
Проверим: кратность $k_3 = 10$. Частота в процентах $p_3 = 2 \times 10 = 20\%$. По формуле из таблицы: $p_3 = 10^2 - 10 - 70 = 100 - 10 - 70 = 20\%$. Значения совпадают.
Ответ: $y=10$.

в) Восстановите всю таблицу.

Зная $x=5$ и $y=10$, а также общий объем совокупности $N=50$, мы можем найти все недостающие значения в таблице.
1. Кратности ($k_i$):
- Для варианты № 2: $k_2 = x = 5$.
- Для варианты № 3: $k_3 = y = 10$.
- Для варианты № 4: $k_4 = x + y = 5 + 10 = 15$.
- Сумма всех кратностей равна 50: $k_1 + k_2 + k_3 + k_4 = 50$.
- Для варианты № 1: $k_1 + 5 + 10 + 15 = 50 \Rightarrow k_1 + 30 = 50 \Rightarrow k_1 = 20$.

2. Частоты ($f_i = k_i/N$):
- Для варианты № 1: $f_1 = \frac{20}{50} = 0.4$.
- Для варианты № 2: $f_2 = \frac{5}{50} = 0.1$.
- Для варианты № 3: $f_3 = \frac{10}{50} = 0.2$.
- Для варианты № 4: $f_4 = \frac{15}{50} = 0.3$.
- Сумма частот: $0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.3 = 1$.

3. Частоты в процентах ($p_i = 2k_i$):
- Для варианты № 1: $p_1 = 2 \times 20 = 40\%$.
- Для варианты № 2: $p_2 = 2 \times 5 = 10\%$.
- Для варианты № 3: $p_3 = 2 \times 10 = 20\%$.
- Для варианты № 4: $p_4 = 2 \times 15 = 30\%$.
- Сумма частот в процентах: $40 + 10 + 20 + 30 = 100\%$.

Ответ: Восстановленная таблица выглядит следующим образом:

Варианта	№ 1	№ 2	№ 3	№ 4	Всего: 4 варианты
Кратность	20	5	10	15	Сумма = 50
Частота	0,4	0,1	0,2	0,3	Сумма = 1
Частота, %	40	10	20	30	Сумма = 100

г) Найдите моду этого распределения.

Мода статистического распределения — это варианта, имеющая наибольшую кратность (встречающаяся чаще всего).
Сравним кратности всех вариант:
- $k_1 = 20$
- $k_2 = 5$
- $k_3 = 10$
- $k_4 = 15$
Наибольшая кратность равна 20, и она соответствует варианте № 1.
Ответ: Модой распределения является варианта № 1.