Номер 24.15, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 24. Статистические методы обработки информации. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 24.15, страница 159.

24.15. а) Вычислите среднее квадратическое отклонение для оценок по литературе.

б) Вычислите среднее квадратическое отклонение для оценок по русскому языку.

в) По какому предмету оценки в среднем выше?

г) По какому предмету оценки имеют более устойчивый характер?

Поскольку в самом задании не предоставлены данные (ряды оценок), для демонстрации решения примем следующие гипотетические наборы оценок за четверть:
Оценки по литературе: 4, 5, 3, 4, 5, 4
Оценки по русскому языку: 3, 5, 2, 4, 5, 3

а) Вычислите среднее квадратическое отклонение для оценок по литературе.
Среднее квадратическое отклонение (обозначается как $ \sigma $) — это мера разброса данных относительно их среднего значения. Оно вычисляется как квадратный корень из дисперсии.
Формула среднего квадратического отклонения: $ \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}} $, где $ x_i $ — каждый элемент выборки, $ \bar{x} $ — среднее арифметическое, $ n $ — количество элементов.
1. Найдем среднее арифметическое ($ \bar{x}_{лит} $) для оценок по литературе (4, 5, 3, 4, 5, 4):
$ \bar{x}_{лит} = \frac{4+5+3+4+5+4}{6} = \frac{25}{6} \approx 4.17 $
2. Найдем квадраты отклонений каждой оценки от среднего:
$ (4 - 4.17)^2 = (-0.17)^2 \approx 0.0289 $
$ (5 - 4.17)^2 = (0.83)^2 \approx 0.6889 $
$ (3 - 4.17)^2 = (-1.17)^2 \approx 1.3689 $
$ (4 - 4.17)^2 = (-0.17)^2 \approx 0.0289 $
$ (5 - 4.17)^2 = (0.83)^2 \approx 0.6889 $
$ (4 - 4.17)^2 = (-0.17)^2 \approx 0.0289 $
3. Найдем сумму этих квадратов:
$ \sum(x_i - \bar{x})^2 \approx 0.0289 + 0.6889 + 1.3689 + 0.0289 + 0.6889 + 0.0289 = 2.8334 $
4. Найдем дисперсию (D), разделив сумму на количество оценок (n=6):
$ D_{лит} = \frac{2.8334}{6} \approx 0.4722 $
5. Найдем среднее квадратическое отклонение, извлекая квадратный корень из дисперсии:
$ \sigma_{лит} = \sqrt{0.4722} \approx 0.687 $
Ответ: Среднее квадратическое отклонение для оценок по литературе составляет примерно 0.687.

б) Вычислите среднее квадратическое отклонение для оценок по русскому языку.
Используем тот же алгоритм для оценок по русскому языку (3, 5, 2, 4, 5, 3).
1. Найдем среднее арифметическое ($ \bar{x}_{рус} $):
$ \bar{x}_{рус} = \frac{3+5+2+4+5+3}{6} = \frac{22}{6} \approx 3.67 $
2. Найдем квадраты отклонений каждой оценки от среднего:
$ (3 - 3.67)^2 = (-0.67)^2 \approx 0.4489 $
$ (5 - 3.67)^2 = (1.33)^2 \approx 1.7689 $
$ (2 - 3.67)^2 = (-1.67)^2 \approx 2.7889 $
$ (4 - 3.67)^2 = (0.33)^2 \approx 0.1089 $
$ (5 - 3.67)^2 = (1.33)^2 \approx 1.7689 $
$ (3 - 3.67)^2 = (-0.67)^2 \approx 0.4489 $
3. Найдем сумму этих квадратов:
$ \sum(x_i - \bar{x})^2 \approx 0.4489 + 1.7689 + 2.7889 + 0.1089 + 1.7689 + 0.4489 = 7.3334 $
4. Найдем дисперсию (D):
$ D_{рус} = \frac{7.3334}{6} \approx 1.2222 $
5. Найдем среднее квадратическое отклонение:
$ \sigma_{рус} = \sqrt{1.2222} \approx 1.106 $
Ответ: Среднее квадратическое отклонение для оценок по русскому языку составляет примерно 1.106.

в) По какому предмету оценки в среднем выше?
Для ответа на этот вопрос нужно сравнить средние арифметические оценки по двум предметам, которые мы уже вычислили.
Средняя оценка по литературе: $ \bar{x}_{лит} \approx 4.17 $
Средняя оценка по русскому языку: $ \bar{x}_{рус} \approx 3.67 $
Сравниваем: $ 4.17 > 3.67 $.
Ответ: В среднем оценки выше по литературе.

г) По какому предмету оценки имеют более устойчивый характер?
Устойчивость (или стабильность) оценок характеризуется тем, насколько сильно они разбросаны вокруг среднего значения. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем меньше разброс и тем более устойчивы оценки.
Среднее квадратическое отклонение по литературе: $ \sigma_{лит} \approx 0.687 $
Среднее квадратическое отклонение по русскому языку: $ \sigma_{рус} \approx 1.106 $
Сравниваем: $ 0.687 < 1.106 $.
Поскольку среднее квадратическое отклонение для оценок по литературе меньше, это означает, что оценки по этому предмету более сгруппированы вокруг среднего значения.
Ответ: Оценки по литературе имеют более устойчивый характер.