Номер 25.2, страница 161, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 25. Гауссова кривая. Закон больших чисел. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 25.2, страница 161.

25.2. а) Каждый из 50 человек независимо называет один из дней недели. Неудачным днём считается понедельник. Какова вероятность того, что удач будет ровно половина?

б) Каждый из 100 человек независимо называет один из дней недели. Удачными днями считаются суббота и воскресенье. Какова вероятность того, что неудач будет 33?

в) Бросание кубика удачно, если выпадает 5 или 6 очков. Какова вероятность того, что ровно 175 бросаний из 293 будут удачными?

г) Одновременно бросают три различные монеты; неудача: решек больше, чем орлов. Какова вероятность того, что будет ровно три удачи в тысяче независимых бросаний?

а)

Все подпункты этой задачи решаются с использованием формулы Бернулли. Эта формула определяет вероятность получения ровно $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ где $n$ – общее число испытаний, $k$ – число «успешных» исходов, $p$ – вероятность «успеха» в одном испытании, $q = 1-p$ – вероятность «неудачи» в одном испытании, а $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – биномиальный коэффициент (число сочетаний из $n$ по $k$).

В данном случае:

• Количество независимых испытаний $n$ – это число человек, то есть $n=50$.
• Испытание – это выбор дня недели одним человеком.
• «Неудачным днём» считается понедельник. Следовательно, «удачные» дни – это остальные 6 дней недели.
• Вероятность «удачи» (выбора удачного дня) в одном испытании: $p = \frac{6}{7}$.
• Вероятность «неудачи» (выбора понедельника) в одном испытании: $q = 1 - p = \frac{1}{7}$.
• Мы ищем вероятность того, что «удач будет ровно половина», то есть число успехов $k = \frac{50}{2} = 25$.

Подставляем значения в формулу Бернулли: $P_{50}(25) = C_{50}^{25} \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{25} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{50-25} = C_{50}^{25} \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{25} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{25} = C_{50}^{25} \frac{6^{25}}{7^{50}}$

Ответ: $C_{50}^{25} \frac{6^{25}}{7^{50}}$

б)

Используем ту же формулу Бернулли. В этом случае:

• Количество испытаний $n = 100$ (количество человек).
• «Удачные дни» – суббота и воскресенье. «Неудачные дни» – остальные 5 дней недели.
• Мы ищем вероятность того, что «неудач будет 33». Для применения формулы определим «успех» как наступление «неудачи» по условию задачи.
• Вероятность «успеха» (один человек назовёт неудачный день): $p = \frac{5}{7}$.
• Вероятность «неудачи» (один человек назовёт удачный день): $q = 1 - p = \frac{2}{7}$.
• Требуемое количество «успехов» (то есть неудач по условию) равно $k = 33$.

Подставляем значения в формулу: $P_{100}(33) = C_{100}^{33} \cdot \left(\frac{5}{7}\right)^{33} \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^{100-33} = C_{100}^{33} \cdot \left(\frac{5}{7}\right)^{33} \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^{67} = C_{100}^{33} \frac{5^{33} \cdot 2^{67}}{7^{100}}$

Ответ: $C_{100}^{33} \frac{5^{33} \cdot 2^{67}}{7^{100}}$

в)

Снова применяем формулу Бернулли.

• Количество испытаний $n = 293$ (количество бросаний кубика).
• «Удача» – выпадение 5 или 6 очков.
• На стандартном шестигранном кубике 6 граней. Два исхода (выпадение 5 или 6) являются удачными.
• Вероятность успеха в одном броске: $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
• Вероятность неудачи: $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
• Мы ищем вероятность того, что будет ровно $k=175$ удачных бросаний.

Подставляем в формулу Бернулли: $P_{293}(175) = C_{293}^{175} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{175} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{293-175} = C_{293}^{175} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{175} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{118} = C_{293}^{175} \frac{2^{118}}{3^{293}}$

Ответ: $C_{293}^{175} \frac{2^{118}}{3^{293}}$

г)

Задача также решается по формуле Бернулли. Сначала определим вероятность «удачи» в одном испытании.

Одно испытание – это одновременное бросание трёх монет. Общее число равновероятных исходов равно $2^3 = 8$. Перечислим их (О – орёл, Р – решка):

• ООО (0 решек, 3 орла)
• ООР, ОРО, РОО (1 решка, 2 орла) - 3 исхода
• ОРР, РОР, РРО (2 решки, 1 орёл) - 3 исхода
• РРР (3 решки, 0 орлов) - 1 исход

По условию, «неудача» – это когда решек больше, чем орлов. Это происходит в следующих случаях:

• 2 решки, 1 орёл (3 исхода)
• 3 решки, 0 орлов (1 исход)

Всего $3+1=4$ исхода соответствуют «неудаче». Вероятность «неудачи» в одном броске: $q = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

«Удача» – это когда решек не больше, чем орлов (то есть меньше или равно). Это остальные $8-4=4$ исхода. Соответственно, вероятность «удачи» в одном броске: $p = 1 - q = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Теперь применяем формулу Бернулли для серии из $n=1000$ независимых бросаний, в которой мы ищем вероятность ровно $k=3$ удач.

$P_{1000}(3) = C_{1000}^{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{1000-3} = C_{1000}^{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{1000} = \frac{C_{1000}^{3}}{2^{1000}}$

Ответ: $\frac{C_{1000}^{3}}{2^{1000}}$