Номер 25.6, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 25. Гауссова кривая. Закон больших чисел. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 25.6, страница 162.

25.6. Объясните, какие ошибки допущены в формуле:

а) $P_{10}(3) = 120 \cdot 0.6^3 \cdot 0.7^6$;

б) $P_{100}(99) = 100 \cdot 0.9^{99} \cdot 0.01$;

в) $P_{20}(2) = 180 \cdot 0.8^2 \cdot 0.2^{18}$;

г) $P_{1000}(1) = 0.2^{1000}$.

Для анализа ошибок в представленных формулах воспользуемся формулой Бернулли для вероятности того, что в $n$ независимых испытаниях событие с вероятностью $p$ наступит ровно $k$ раз:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где $q = 1-p$ — вероятность противоположного события (неудачи), а $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

а) $P_{10}(3) = 120 \cdot 0,6^3 \cdot 0,7^6$

В данной формуле $n=10$ и $k=3$.

1. Проверим коэффициент $C_n^k$:
   $C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$.
   Коэффициент в формуле указан верно.
2. Проверим вероятности $p$ и $q$.
   Из члена $0,6^3$ можно предположить, что вероятность успеха $p=0,6$. Тогда вероятность неудачи должна быть $q = 1 - p = 1 - 0,6 = 0,4$. В формуле же используется значение $0,7$. Сумма указанных вероятностей $0,6 + 0,7 = 1,3$, что не равно 1. Это первая ошибка.
3. Проверим показатели степеней.
   Показатель степени у вероятности успеха $p$ должен быть равен $k=3$. В формуле стоит $0,6^3$, что верно. Показатель степени у вероятности неудачи $q$ должен быть равен $n-k = 10-3 = 7$. В формуле же стоит $0,7^6$, то есть показатель равен 6. Это вторая ошибка.

Ответ: Допущены две ошибки: 1) вероятности $p=0,6$ и $q=0,7$ не являются взаимодополняющими ($p+q \neq 1$); 2) показатель степени для вероятности неудачи должен быть $10-3=7$, а не 6. Правильная формула (при $p=0,6$): $P_{10}(3) = 120 \cdot 0,6^3 \cdot 0,4^7$.

б) $P_{100}(99) = 100 \cdot 0,99^{99} \cdot 0,01$

В данной формуле $n=100$ и $k=99$.

1. Проверим коэффициент $C_n^k$:
   $C_{100}^{99} = \frac{100!}{99!(100-99)!} = \frac{100!}{99!1!} = 100$.
   Коэффициент в формуле указан верно.
2. Проверим вероятности $p$ и $q$.
   Из члена $0,99^{99}$ можно предположить, что $p=0,99$. Тогда $q = 1 - 0,99 = 0,01$. Это соответствует второму множителю в формуле. Вероятности указаны верно.
3. Проверим показатели степеней.
   Показатель у $p$ должен быть $k=99$. В формуле стоит $0,99^{99}$, что верно.
   Показатель у $q$ должен быть $n-k = 100-99 = 1$. В формуле стоит множитель $0,01$, что математически эквивалентно $0,01^1$. Однако, для строгого соответствия формуле Бернулли, показатель степени должен быть указан явно. Отсутствие показателя степени 1 у числа $0,01$ можно считать формальной неточностью или ошибкой записи.

Ответ: Формула математически верна, но для полного соответствия каноническому виду формулы Бернулли у множителя $0,01$ следует явно указать показатель степени 1. Ошибка носит формальный характер. Правильная запись: $P_{100}(99) = 100 \cdot 0,99^{99} \cdot 0,01^1$.

в) $P_{20}(2) = 180 \cdot 0,8^2 \cdot 0,2^{18}$

В данной формуле $n=20$ и $k=2$.

1. Проверим коэффициент $C_n^k$:
   $C_{20}^2 = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20!}{2!18!} = \frac{20 \cdot 19}{2 \cdot 1} = 190$.
   В формуле указан коэффициент 180, что является ошибкой.
2. Проверим вероятности $p$ и $q$.
   Из члена $0,8^2$ можно предположить, что $p=0,8$. Тогда $q = 1 - 0,8 = 0,2$. Это соответствует другому множителю. Вероятности указаны верно ($0,8+0,2=1$).
3. Проверим показатели степеней.
   Показатель у $p$ должен быть $k=2$. В формуле стоит $0,8^2$, что верно.
   Показатель у $q$ должен быть $n-k = 20-2 = 18$. В формуле стоит $0,2^{18}$, что также верно.

Ответ: Допущена ошибка в вычислении биномиального коэффициента $C_{20}^2$. Он равен 190, а не 180. Правильная формула: $P_{20}(2) = 190 \cdot 0,8^2 \cdot 0,2^{18}$.

г) $P_{1000}(1) = 0,2^{1000}$

В данной формуле $n=1000$ и $k=1$.

Формула в задании совершенно не соответствует формуле Бернулли. Разберем ошибки подробно, предполагая, что $p=0,2$.

1. Отсутствует биномиальный коэффициент $C_n^k$.
   Он должен быть равен $C_{1000}^1 = \frac{1000!}{1!(1000-1)!} = 1000$.
2. Неверно указаны вероятности и их показатели.
   Если $p=0,2$, то $q = 1 - 0,2 = 0,8$.
   - Множитель для вероятности успеха должен быть $p^k = 0,2^1$. В формуле же стоит $0,2^{1000}$. Показатель степени неверен.
   - Множитель для вероятности неудачи $q^{n-k} = 0,8^{1000-1} = 0,8^{999}$ полностью отсутствует в формуле.

Выражение $0,2^{1000}$ представляет собой вероятность того, что событие с вероятностью 0,2 произойдет во всех 1000 испытаниях, то есть $P_{1000}(1000)$.

Ответ: Допущены многочисленные ошибки: отсутствует биномиальный коэффициент ($C_{1000}^1=1000$), отсутствует множитель, отвечающий за вероятность неудачи ($0,8^{999}$), и неверно указан показатель степени у вероятности успеха (1000 вместо 1). Правильная формула: $P_{1000}(1) = 1000 \cdot 0,2^1 \cdot 0,8^{999}$.