Номер 25.11, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 25. Гауссова кривая. Закон больших чисел. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 25.11, страница 162.

25.11. При входе на выставку аттракционов стоит урна с четырьмя чёрными и одним белым шаром. Входящий вытаскивает шар и потом возвращает его обратно. Если шар окажется белым, то посетитель проходит на выставку бесплатно, а если чёрным, то покупает билет.

С помощью таблицы значений функции $\varphi$ найдите приближённо (с точностью до четвёртого знака после запятой) вероятность того, что из 2500 посетителей бесплатно пройдут ровно:

а) 1000 человек;

б) 500 человек;

в) 450 человек;

г) 510 человек.

Для решения данной задачи используется локальная теорема Муавра-Лапласа. Она позволяет найти приближенное значение вероятности того, что в $n$ независимых испытаниях событие с вероятностью $p$ наступит ровно $k$ раз. Формула имеет вид: $P_n(k) \approx \frac{1}{\sqrt{npq}} \phi(x)$ где $x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}}$, $q=1-p$, а $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ – это плотность стандартного нормального распределения. Значения функции $\phi(x)$ берутся из соответствующей таблицы.

Сначала определим параметры для нашей задачи:

• Общее число испытаний (посетителей): $n = 2500$.
• Вероятность "успеха" (посетитель вытащит белый шар и пройдет бесплатно). В урне 1 белый и 4 черных шара, всего 5 шаров. Следовательно, вероятность успеха в одном испытании: $p = \frac{1}{5} = 0.2$.
• Вероятность "неудачи" (посетитель вытащит черный шар): $q = 1 - p = 1 - 0.2 = 0.8$.

Теперь вычислим вспомогательные величины, которые будут использоваться во всех пунктах:

• Математическое ожидание числа успехов (среднее количество посетителей, прошедших бесплатно): $np = 2500 \cdot 0.2 = 500$.
• Среднеквадратическое отклонение: $\sqrt{npq} = \sqrt{2500 \cdot 0.2 \cdot 0.8} = \sqrt{400} = 20$.

Таким образом, общая формула для вычисления искомой вероятности принимает вид: $P_{2500}(k) \approx \frac{1}{20} \phi(\frac{k - 500}{20})$.

Теперь решим каждый из подпунктов.

а) 1000 человек;

Найдем вероятность того, что бесплатно пройдут ровно $k=1000$ человек. Сначала вычислим значение аргумента $x$ для функции $\phi(x)$: $x = \frac{1000 - 500}{20} = \frac{500}{20} = 25$. Значение функции $\phi(x)$ при $x=25$ чрезвычайно мало и стремится к нулю. В стандартных таблицах для $x>5$ значение $\phi(x)$ принимается равным 0. Тогда вероятность: $P_{2500}(1000) \approx \frac{1}{20} \phi(25) \approx 0.05 \cdot 0 = 0$. С точностью до четвертого знака после запятой, вероятность равна $0.0000$.

Ответ: $0.0000$.

б) 500 человек;

Найдем вероятность того, что бесплатно пройдут ровно $k=500$ человек. Вычислим значение $x$: $x = \frac{500 - 500}{20} = \frac{0}{20} = 0$. Из таблицы значений функции Гаусса находим: $\phi(0) \approx 0.3989$. Вычисляем вероятность: $P_{2500}(500) \approx \frac{1}{20} \phi(0) \approx 0.05 \cdot 0.3989 = 0.019945$. Округляя до четвертого знака после запятой, получаем $0.0199$.

Ответ: $0.0199$.

в) 450 человек;

Найдем вероятность того, что бесплатно пройдут ровно $k=450$ человек. Вычислим значение $x$: $x = \frac{450 - 500}{20} = \frac{-50}{20} = -2.5$. Функция $\phi(x)$ является четной, то есть $\phi(-x) = \phi(x)$. Следовательно, $\phi(-2.5) = \phi(2.5)$. Из таблицы значений находим: $\phi(2.5) \approx 0.0175$. Вычисляем вероятность: $P_{2500}(450) \approx \frac{1}{20} \phi(-2.5) \approx 0.05 \cdot 0.0175 = 0.000875$. Округляя до четвертого знака после запятой, получаем $0.0009$.

Ответ: $0.0009$.

г) 510 человек;

Найдем вероятность того, что бесплатно пройдут ровно $k=510$ человек. Вычислим значение $x$: $x = \frac{510 - 500}{20} = \frac{10}{20} = 0.5$. Из таблицы значений находим: $\phi(0.5) \approx 0.3521$. Вычисляем вероятность: $P_{2500}(510) \approx \frac{1}{20} \phi(0.5) \approx 0.05 \cdot 0.3521 = 0.017605$. Округляя до четвертого знака после запятой, получаем $0.0176$.

Ответ: $0.0176$.