Номер 25.9, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 25. Гауссова кривая. Закон больших чисел. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 25.9, страница 162.

25.9. Найдите $x > 0$, для которого значение $\varphi(x)$ ближе всего к заданному числу:

а) 0,33;

б) 0,333;

в) 0,1;

г) 0,01.

В условии задачи не дано определение функции $φ(x)$. Стандартное обозначение $φ(x)$ — это функция Эйлера, которая для натурального числа $x$ равна количеству натуральных чисел, меньших $x$ и взаимно простых с ним. Значения функции Эйлера для $x>1$ являются целыми числами ($φ(1)=1, φ(2)=1, φ(3)=2, ...$), в то время как заданные числа (0,33; 0,333; 0,1; 0,01) являются дробными. Это говорит о том, что $φ(x)$ в данной задаче, вероятно, обозначает не саму функцию Эйлера, а некоторую другую функцию, возможно, связанную с ней или с другими теоретико-числовыми функциями, значение которой может быть дробным.

Рассмотрим гипотезу, что $φ(x)$ обозначает отношение количества натуральных делителей числа $x$ к самому числу $x$. Обозначим количество делителей стандартно через $d(x)$ или $τ(x)$. Таким образом, мы будем искать $x > 0$ (будем считать $x$ натуральным числом, так как теория делимости определена для них), для которого значение функции $f(x) = d(x)/x$ ближе всего к заданному числу.

а) 0,33

Нам нужно найти натуральное число $x$, для которого значение $d(x)/x$ близко к $0,33$. Число $0,33$ близко к $1/3$. Попробуем найти $x$, для которого $d(x)/x = 1/3$.

Переберем небольшие значения $x$:

• $x=1$: $d(1)=1$, $d(1)/1 = 1$.
• $x=2$: $d(2)=2$, $d(2)/2 = 1$.
• $x=3$: $d(3)=2$, $d(3)/3 = 2/3$.
• $x=4$: $d(4)=3$, $d(4)/4 = 3/4$.
• $x=6$: $d(6)=4$, $d(6)/6 = 4/6 = 2/3$.
• $x=12$: $d(12)=6$, $d(12)/12 = 6/12 = 1/2$.
• $x=24$: $x = 2^3 \cdot 3^1$. Число делителей $d(24) = (3+1)(1+1) = 8$. Тогда $d(24)/24 = 8/24 = 1/3$.

Значение $1/3 = 0,3333...$ очень близко к $0,33$. Разница составляет $|1/3 - 0,33| = |1/3 - 33/100| = |100/300 - 99/300| = 1/300 \approx 0,0033$. Найти существенно более близкое значение для небольших $x$ маловероятно. Таким образом, $x=24$ является хорошим кандидатом.

Ответ: $x=24$.

б) 0,333

Нужно найти $x$, для которого $d(x)/x$ близко к $0,333$. Это число еще ближе к $1/3$, чем $0,33$.

Как мы уже выяснили в предыдущем пункте, для $x=24$ значение $d(x)/x$ в точности равно $1/3$.

Разница составляет $|1/3 - 0,333| = |0,3333... - 0,333| = 0,000333... = 1/3000$. Это очень малая величина.

Ответ: $x=24$.

в) 0,1

Мы ищем $x$, для которого $d(x)/x$ близко к $0,1 = 1/10$. Попробуем найти $x$, для которого это соотношение выполняется точно: $d(x)/x = 1/10$, или $x = 10 \cdot d(x)$.

Так как $x$ должен делиться на 10, его простые множители должны включать 2 и 5. Пусть $x = 2^a \cdot 5^b \cdot k$, где $k$ не делится на 2 и 5.Число делителей $d(x) = (a+1)(b+1) \cdot d(k)$.

Рассмотрим число $x=180 = 18 \cdot 10 = 2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1$.

Найдем количество его делителей: $d(180) = (2+1)(2+1)(1+1) = 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$.

Теперь вычислим отношение: $d(180)/180 = 18/180 = 1/10 = 0,1$.

Значение совпало с заданным числом в точности.

Ответ: $x=180$.

г) 0,01

Мы ищем $x$, для которого $d(x)/x$ близко к $0,01 = 1/100$. То есть, мы хотим, чтобы $x/d(x)$ было близко к 100.

Функция $d(x)$ растет гораздо медленнее, чем $x$. Нам нужно найти такое число $x$, для которого отношение $x/d(x)$ близко к 100. Этого можно достичь, подбирая степени простых множителей в разложении числа $x$. Отношение $p^k/(k+1)$ растет с ростом $k$. Чтобы получить большое значение $x/d(x)$, нужно брать большие степени небольших простых чисел.

Попробуем различные комбинации.Пусть $x = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot ...$. Тогда $x/d(x) = \frac{2^a}{a+1} \cdot \frac{3^b}{b+1} \cdot \frac{5^c}{c+1} \cdot ...$

• Попробуем $x = 2^5 \cdot 3^3 \cdot 5^1 = 32 \cdot 27 \cdot 5 = 4320$. $d(4320) = (5+1)(3+1)(1+1) = 6 \cdot 4 \cdot 2 = 48$. $d(4320)/4320 = 48/4320 = 1/90$. $1/90 \approx 0,0111...$. Разница с $0,01$ составляет $|1/90 - 1/100| = 1/900 \approx 0,0011$.
• Попробуем $x = 2^7 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 128 \cdot 9 \cdot 5 = 5760$. $d(5760) = (7+1)(2+1)(1+1) = 8 \cdot 3 \cdot 2 = 48$. $d(5760)/5760 = 48/5760 = 1/120$. $1/120 \approx 0,00833...$. Разница с $0,01$ составляет $|1/120 - 1/100| = |5/600 - 6/600| = 1/600 \approx 0,00167$.

Сравнение разниц показывает, что $x=4320$ дает более близкое значение к $0,01$.

Ответ: $x=4320$.