Номер 25.4, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 25. Гауссова кривая. Закон больших чисел. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 25.4, страница 162.

25.4. a) $P_?(5) = C_{50}^? \cdot 0,7^? \cdot ?^?$;б) $P_?(?) = C_?^? \cdot 0,6^7 \cdot ?^{23}$;В) $P_{100}(?) = C_?^3 \cdot 0,5^?$;Г) $P_{40}(?) = 0,7^?$.

Во всех пунктах задачи используется формула Бернулли, которая определяет вероятность наступления ровно $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$
где $n$ — общее число испытаний, $k$ — число успехов, $p$ — вероятность успеха в одном испытании, а $q = 1-p$ — вероятность неудачи в одном испытании.

а) В выражении $P_?(5) = C_{50}^? \cdot 0,7^? \cdot ?^?$ необходимо найти значения, отмеченные вопросительными знаками.
Сравнивая с общей формулой Бернулли, мы можем определить известные параметры:
- Число испытаний $n=50$ (из нижнего индекса биномиального коэффициента $C_{50}^?$).
- Число успехов $k=5$ (из аргумента вероятности $P_?(5)$).
- Вероятность успеха $p=0,7$ (из основания степени $0,7^?$).
Теперь мы можем вычислить недостающие части формулы:
- Вероятность неудачи $q = 1 - p = 1 - 0,7 = 0,3$.
- Показатель степени для вероятности неудачи $q$ равен $n-k = 50-5=45$.
Подставляя все значения, получаем полностью определенное выражение.
Ответ: $P_{50}(5) = C_{50}^5 \cdot 0,7^5 \cdot 0,3^{45}$.

б) В выражении $P_?(?) = C_?^? \cdot 0,6^7 \cdot ?^{23}$ также нужно восстановить недостающие элементы.
Анализируем известные части:
- Из множителя $0,6^7$ следует, что вероятность успеха $p=0,6$, а число успехов $k=7$.
- Из множителя $?^{23}$ следует, что показатель степени для вероятности неудачи $q$ равен $n-k=23$.
Теперь найдем остальные параметры:
- Общее число испытаний $n = k + (n-k) = 7 + 23 = 30$.
- Вероятность неудачи $q = 1 - p = 1 - 0,6 = 0,4$.
Таким образом, мы можем заполнить все пропуски в формуле.
Ответ: $P_{30}(7) = C_{30}^7 \cdot 0,6^7 \cdot 0,4^{23}$.

в) Рассмотрим выражение $P_{100}(?) = C_?^3 \cdot 0,5^?$.
Определяем известные параметры:
- Общее число испытаний $n=100$ (из индекса вероятности $P_{100}(?)$).
- Число успехов $k=3$ (из верхнего индекса биномиального коэффициента $C_?^3$).
- Вероятность успеха $p=0,5$ (из основания степени $0,5^?$).
В данном случае вероятность неудачи $q = 1 - p = 1 - 0,5 = 0,5$.
Полная формула Бернулли для этих параметров: $P_{100}(3) = C_{100}^3 \cdot p^k \cdot q^{n-k} = C_{100}^3 \cdot 0,5^3 \cdot 0,5^{100-3} = C_{100}^3 \cdot 0,5^3 \cdot 0,5^{97}$.
Поскольку $p=q$, мы можем упростить произведение степеней: $0,5^3 \cdot 0,5^{97} = 0,5^{3+97} = 0,5^{100}$.
Это означает, что данное в задаче выражение является сокращённой записью для случая $p=0,5$.
Ответ: $P_{100}(3) = C_{100}^3 \cdot 0,5^{100}$.

г) Анализируем выражение $P_{40}(?) = 0,7^?$.
Из $P_{40}(?)$ следует, что общее число испытаний $n=40$.
Правая часть уравнения $0,7^?$ не содержит биномиального коэффициента. В формуле Бернулли это возможно, только если $C_n^k=1$. Это условие выполняется при $k=0$ или $k=n$.
1. Если $k=n=40$, то формула принимает вид $P_{40}(40) = C_{40}^{40} \cdot p^{40} \cdot q^0 = 1 \cdot p^{40} \cdot 1 = p^{40}$. Сравнивая с $0,7^?$, получаем $p=0,7$ и показатель степени 40. Это соответствует событию "40 успехов в 40 испытаниях".
2. Если $k=0$, то формула принимает вид $P_{40}(0) = C_{40}^0 \cdot p^0 \cdot q^{40} = 1 \cdot 1 \cdot q^{40} = q^{40}$. Сравнивая с $0,7^?$, получаем $q=0,7$ и показатель степени 40. Это соответствует событию "0 успехов в 40 испытаниях".
Обычно, если не указано иное, заданная вероятность относится к вероятности "успеха", то есть $p$. Поэтому наиболее вероятным является первый вариант.
Ответ: $P_{40}(40) = 0,7^{40}$.