Номер 25.5, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 25. Гауссова кривая. Закон больших чисел. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 25.5, страница 162.

25.5. a) $P_{?}(?) = ? \cdot 0.3^2 \cdot 0.7^8;$

б) $P_{?}(?) = ? \cdot 0.01^9 \cdot 0.99;$

В) $P_{?}(?) = ? \cdot 0.6^5 \cdot \text{?}25;$

Г) $P_{?}(?) = 0.1^{100}.$

а) В задаче используется формула Бернулли для вероятности того, что в $n$ независимых испытаниях событие с вероятностью $p$ наступит ровно $k$ раз: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $q = 1-p$ – вероятность противоположного события.

Рассмотрим выражение: $P_?(?) = ? \cdot 0,3^2 \cdot 0,7^{78}$.

Сопоставляя его с формулой Бернулли, мы можем определить параметры:

• Из множителя $0,3^2$ следует, что вероятность успеха $p = 0,3$, а число успехов $k = 2$.
• Из множителя $0,7^{78}$ следует, что вероятность неудачи $q = 0,7$, а число неудач $n-k = 78$.

Проверим, что $p+q=1$: $0,3 + 0,7 = 1$. Это верно.

Теперь найдем общее число испытаний $n$: $n-k = 78 \implies n - 2 = 78 \implies n = 80$.

Недостающий множитель перед степенями – это биномиальный коэффициент $C_n^k = C_{80}^2$. Вычислим его: $C_{80}^2 = \frac{80!}{2!(80-2)!} = \frac{80 \cdot 79}{2 \cdot 1} = 40 \cdot 79 = 3160$.

Таким образом, мы заполнили все пропуски в исходном выражении.

Ответ: $P_{80}(2) = 3160 \cdot 0,3^2 \cdot 0,7^{78}$.

б) Рассмотрим выражение: $P_?(?) = ? \cdot 0,01^9 \cdot 0,99$.

Применяем ту же формулу Бернулли $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$.

• Из множителя $0,01^9$ следует, что $p = 0,01$ и $k = 9$.
• Множитель $0,99$ можно записать как $0,99^1$. Отсюда следует, что $q = 0,99$ и $n-k = 1$.

Проверка: $p+q = 0,01 + 0,99 = 1$.

Найдем общее число испытаний $n$: $n-k = 1 \implies n - 9 = 1 \implies n = 10$.

Недостающий множитель – это $C_n^k = C_{10}^9$. Вычислим его: $C_{10}^9 = \frac{10!}{9!(10-9)!} = \frac{10!}{9!1!} = 10$.

Заполняем пропуски в выражении.

Ответ: $P_{10}(9) = 10 \cdot 0,01^9 \cdot 0,99^1$.

в) Рассмотрим выражение: $P_?(?) = ? \cdot 0,6^5 \cdot ?^{25}$.

Используем формулу Бернулли $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$.

• Из множителя $0,6^5$ следует, что вероятность успеха $p = 0,6$, а число успехов $k = 5$.
• Вероятность неудачи $q$ должна быть равна $1-p$. Значит, $q = 1 - 0,6 = 0,4$. Это значение для второго знака вопроса в правой части.
• Теперь у нас есть множитель $0,4^{25}$. Из него следует, что число неудач $n-k = 25$.

Найдем общее число испытаний $n$: $n-k = 25 \implies n - 5 = 25 \implies n = 30$.

Недостающий множитель – это $C_n^k = C_{30}^5$. Вычислим его: $C_{30}^5 = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 6 \cdot 29 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 13 = 142506$.

Заполняем все пропуски.

Ответ: $P_{30}(5) = 142506 \cdot 0,6^5 \cdot 0,4^{25}$.

г) Рассмотрим выражение: $P_?(?) = 0,1^{100}$.

Это частный случай формулы Бернулли $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$. В данном выражении отсутствуют множители $C_n^k$ и $q^{n-k}$, что означает, что они должны быть равны 1.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Случай, когда число успехов равно числу испытаний: $k=n$. В этом случае $C_n^n = 1$ и $n-k=0$, поэтому $q^{n-k} = q^0 = 1$. Формула Бернулли принимает вид $P_n(n) = p^n$. Сравнивая с $0,1^{100}$, получаем $p=0,1$ и $n=100$. Так как $k=n$, то и $k=100$. Это соответствует вероятности получить 100 успехов в 100 испытаниях, если вероятность успеха в одном испытании равна 0,1.
2. Случай, когда число успехов равно нулю: $k=0$. В этом случае $C_n^0 = 1$ и $p^k=p^0=1$. Формула принимает вид $P_n(0) = q^n$. Сравнивая с $0,1^{100}$, получаем $q=0,1$ и $n=100$. Тогда вероятность успеха $p=1-q=0,9$. Это соответствует вероятности получить 0 успехов в 100 испытаниях, если вероятность успеха в одном испытании равна 0,9.

Оба варианта математически корректны. Однако, как правило, в выражении $p^k$ основание степени обозначает вероятность рассматриваемого события. Поэтому наиболее прямой интерпретацией является первая, где $p=0,1$ и $k=100$.

Ответ: $P_{100}(100) = 0,1^{100}$.