Номер 25.12, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 25. Гауссова кривая. Закон больших чисел. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 25.12, страница 163.

25.12. Один из этапов отбора участников для игры «Ну и счастливчик!» организован так. Ведущий записывает произвольную цифру от 0 до 9. После этого очередной участник вслух произвольно называет свою цифру от 0 до 9. Если цифры совпали, то участник проходит в следующий этап. С помощью таблицы значений функции $ \varphi $ найдите приближённо (с точностью до четвёртого знака после запятой) вероятность того, что из 10 000 игроков в следующий этап пройдут ровно:

a) 2000;

б) 1000;

в) 970;

г) 900 человек.

Данная задача описывает серию из $n=10000$ независимых испытаний (схема Бернулли), где каждое испытание — это попытка одного игрока угадать цифру. Поскольку число испытаний $n$ очень велико, для нахождения вероятности того, что событие наступит ровно $k$ раз, используется локальная теорема Муавра-Лапласа.

Формула локальной теоремы Муавра-Лапласа:

$P_n(k) \approx \frac{1}{\sqrt{npq}} \phi(x)$

где $n$ — число испытаний, $p$ — вероятность успеха в одном испытании, $q=1-p$ — вероятность неудачи, $k$ — число успехов, $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$ — функция плотности стандартного нормального распределения (функция Гаусса), а $x$ вычисляется по формуле:

$x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}}$

Сначала определим параметры для нашей задачи.

Число испытаний: $n = 10000$.

Вероятность успеха в одном испытании (участник угадал цифру): ведущий выбирает одну из 10 цифр (от 0 до 9), и участник делает то же самое. Существует 10 благоприятных исходов (0-0, 1-1, ..., 9-9) из $10 \cdot 10 = 100$ возможных. Таким образом, вероятность успеха:

$p = \frac{10}{100} = 0.1$

Вероятность неудачи:

$q = 1 - p = 1 - 0.1 = 0.9$

Теперь вычислим значения, необходимые для применения формулы:

Математическое ожидание (среднее число успехов):

$np = 10000 \cdot 0.1 = 1000$

Среднеквадратическое отклонение:

$\sqrt{npq} = \sqrt{10000 \cdot 0.1 \cdot 0.9} = \sqrt{900} = 30$

Подставив эти значения, получаем рабочую формулу для нашей задачи:

$P_{10000}(k) \approx \frac{1}{30} \phi\left(\frac{k - 1000}{30}\right)$

Для вычислений нам понадобятся табличные значения функции $\phi(x)$.

а) Вероятность того, что пройдут ровно $k=2000$ человек.

Вычислим аргумент $x$ для функции $\phi(x)$:

$x = \frac{2000 - 1000}{30} = \frac{1000}{30} \approx 33.33$

Значение функции $\phi(x)$ для таких больших $x$ чрезвычайно мало и на практике принимается равным нулю: $\phi(33.33) \approx 0$.

Тогда вероятность:

$P_{10000}(2000) \approx \frac{1}{30} \cdot \phi(33.33) \approx 0$

С точностью до четвёртого знака после запятой это 0.0000.

Ответ: $0.0000$

б) Вероятность того, что пройдёт ровно $k=1000$ человек.

Вычислим $x$:

$x = \frac{1000 - 1000}{30} = \frac{0}{30} = 0$

Из таблиц значений функции Гаусса находим $\phi(0) \approx 0.3989$.

Вычисляем вероятность:

$P_{10000}(1000) \approx \frac{1}{30} \cdot \phi(0) \approx \frac{0.3989}{30} \approx 0.013296...$

Округляя до четвёртого знака после запятой, получаем 0.0133.

Ответ: $0.0133$

в) Вероятность того, что пройдёт ровно $k=970$ человек.

Вычислим $x$:

$x = \frac{970 - 1000}{30} = \frac{-30}{30} = -1$

Функция $\phi(x)$ является чётной, то есть $\phi(-x) = \phi(x)$. Поэтому $\phi(-1) = \phi(1)$. Из таблиц находим $\phi(1) \approx 0.2420$.

Вычисляем вероятность:

$P_{10000}(970) \approx \frac{1}{30} \cdot \phi(-1) \approx \frac{0.2420}{30} \approx 0.008066...$

Округляя до четвёртого знака после запятой, получаем 0.0081.

Ответ: $0.0081$

г) Вероятность того, что пройдёт ровно $k=900$ человек.

Вычислим $x$:

$x = \frac{900 - 1000}{30} = \frac{-100}{30} = -\frac{10}{3} \approx -3.33$

Используя свойство чётности функции $\phi(x)$, имеем $\phi(-3.33) = \phi(3.33)$. Из таблиц находим $\phi(3.33) \approx 0.0016$.

Вычисляем вероятность:

$P_{10000}(900) \approx \frac{1}{30} \cdot \phi(-3.33) \approx \frac{0.0016}{30} \approx 0.000053...$

Округляя до четвёртого знака после запятой, получаем 0.0001.

Ответ: $0.0001$