Номер 25.16, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 25. Гауссова кривая. Закон больших чисел. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 25.16, страница 163.

○25.16. Вероятность рождения мальчика примем равной 50 %.

Найдите вероятность того, что среди 900 новорождённых будет:

a) от 400 до 450 мальчиков;

б) не менее 440 мальчиков;

в) от 430 до 470 девочек;

г) не более 460 девочек.

Для решения данной задачи мы имеем дело с серией из $n=900$ независимых испытаний (рождений), в каждом из которых событие (рождение мальчика) происходит с вероятностью $p=0,5$. Число мальчиков $k$ среди 900 новорожденных подчиняется биномиальному распределению.

Поскольку число испытаний $n=900$ велико, для вычисления вероятностей можно использовать интегральную теорему Муавра-Лапласа, которая аппроксимирует биномиальное распределение нормальным.

Найдем параметры этого нормального распределения:

• Математическое ожидание (среднее число мальчиков): $M(X) = np = 900 \cdot 0,5 = 450$.
• Дисперсия: $D(X) = npq = 900 \cdot 0,5 \cdot (1-0,5) = 900 \cdot 0,25 = 225$.
• Среднеквадратическое отклонение: $\sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{225} = 15$.

Вероятность того, что число мальчиков $k$ будет находиться в пределах от $k_1$ до $k_2$, вычисляется по формуле:

$P(k_1 \le k \le k_2) \approx \Phi_0(x_2) - \Phi_0(x_1)$

где $\Phi_0(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^x e^{-t^2/2} dt$ — функция Лапласа, а $x_1$ и $x_2$ — стандартизованные значения:

$x_1 = \frac{k_1 - np}{\sqrt{npq}}$ и $x_2 = \frac{k_2 - np}{\sqrt{npq}}$

Для повышения точности при переходе от дискретного распределения к непрерывному применяется поправка на непрерывность. Интервал $[k_1, k_2]$ заменяется на $[k_1 - 0.5, k_2 + 0.5]$.

---

а) от 400 до 450 мальчиков

Нужно найти вероятность $P(400 \le k \le 450)$.Применяем поправку на непрерывность: интервал становится $[399.5, 450.5]$.Найдем значения $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac{399.5 - 450}{15} = \frac{-50.5}{15} \approx -3.37$

$x_2 = \frac{450.5 - 450}{15} = \frac{0.5}{15} \approx 0.03$

Теперь вычислим вероятность, используя значения функции Лапласа из таблиц ($\Phi_0(-x) = -\Phi_0(x)$):

$P(400 \le k \le 450) \approx \Phi_0(0.03) - \Phi_0(-3.37) = \Phi_0(0.03) + \Phi_0(3.37)$

Из таблиц находим: $\Phi_0(0.03) \approx 0.0120$ и $\Phi_0(3.37) \approx 0.4996$.

$P \approx 0.0120 + 0.4996 = 0.5116$

Ответ: $0.5116$

---

б) не менее 440 мальчиков

Нужно найти вероятность $P(k \ge 440)$, что эквивалентно $P(440 \le k \le 900)$.Применяем поправку на непрерывность: интервал становится $[439.5, 900.5]$.Найдем значения $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac{439.5 - 450}{15} = \frac{-10.5}{15} = -0.7$

$x_2 = \frac{900.5 - 450}{15} = \frac{450.5}{15} \approx 30.03$

Вычислим вероятность:

$P(k \ge 440) \approx \Phi_0(30.03) - \Phi_0(-0.7) = \Phi_0(30.03) + \Phi_0(0.7)$

Значение функции Лапласа для больших аргументов ($x > 5$) стремится к 0.5. Таким образом, $\Phi_0(30.03) \approx 0.5$. Из таблиц: $\Phi_0(0.7) \approx 0.2580$.

$P \approx 0.5 + 0.2580 = 0.7580$

Ответ: $0.7580$

---

в) от 430 до 470 девочек

Вероятность рождения девочки также равна $0.5$, поэтому параметры нормального распределения для числа девочек такие же: $\mu = 450$, $\sigma = 15$.Нужно найти вероятность $P(430 \le k_{девочек} \le 470)$.Применяем поправку на непрерывность: интервал становится $[429.5, 470.5]$.Найдем значения $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac{429.5 - 450}{15} = \frac{-20.5}{15} \approx -1.37$

$x_2 = \frac{470.5 - 450}{15} = \frac{20.5}{15} \approx 1.37$

Вычислим вероятность:

$P(430 \le k_{девочек} \le 470) \approx \Phi_0(1.37) - \Phi_0(-1.37) = 2 \cdot \Phi_0(1.37)$

Из таблиц находим: $\Phi_0(1.37) \approx 0.4147$.

$P \approx 2 \cdot 0.4147 = 0.8294$

Ответ: $0.8294$

---

г) не более 460 девочек

Нужно найти вероятность $P(k_{девочек} \le 460)$, что эквивалентно $P(0 \le k_{девочек} \le 460)$.Применяем поправку на непрерывность: интервал становится $[-0.5, 460.5]$.Найдем значения $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac{-0.5 - 450}{15} = \frac{-450.5}{15} \approx -30.03$

$x_2 = \frac{460.5 - 450}{15} = \frac{10.5}{15} = 0.7$

Вычислим вероятность:

$P(k_{девочек} \le 460) \approx \Phi_0(0.7) - \Phi_0(-30.03) = \Phi_0(0.7) + \Phi_0(30.03)$

Как и в пункте б), $\Phi_0(30.03) \approx 0.5$ и $\Phi_0(0.7) \approx 0.2580$.

$P \approx 0.2580 + 0.5 = 0.7580$

Заметим, что событие "не более 460 девочек" ($k_{девочек} \le 460$) эквивалентно событию "не менее 440 мальчиков" ($k_{мальчиков} = 900 - k_{девочек} \ge 900 - 460 = 440$). Поэтому вероятности в пунктах б) и г) совпадают.

Ответ: $0.7580$