Номер 26.1, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 26. Равносильность уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 26.1, страница 165.

26.1. Равносильно ли уравнение $2^x = 256$ уравнению:

a) $\log_2 x = 3$;

б) $x^2 - 9x + 8 = 0$;

в) $3x^2 - 24x = 0$;

г) $\frac{16}{x} = 2$?

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Чтобы определить равносильность, сначала найдем решение исходного уравнения $2^x = 256$.

Представим число 256 в виде степени с основанием 2: $256 = 2^8$.

Тогда уравнение можно переписать в виде $2^x = 2^8$.

Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны: $x=8$.

Таким образом, множество решений исходного уравнения — $\{8\}$. Теперь найдем решения для каждого из предложенных уравнений и сравним их с полученным.

а) $\log_2 x = 3$

Это логарифмическое уравнение. По определению логарифма, оно эквивалентно уравнению $x = 2^3$.

Вычисляем значение: $x = 8$.

Множество решений этого уравнения — $\{8\}$. Поскольку множества решений совпадают, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильно.

б) $x^2 - 9x + 8 = 0$

Это квадратное уравнение. Его можно решить с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $9$, а их произведение равно $8$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 8$.

В качестве альтернативы, найдем корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49 = 7^2$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 7}{2}$.

$x_1 = \frac{9-7}{2} = 1$, $x_2 = \frac{9+7}{2} = 8$.

Множество решений этого уравнения — $\{1, 8\}$. Оно не совпадает с множеством $\{8\}$, так как содержит дополнительный корень $x=1$. Следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: нет, не равносильно.

в) $3x^2 - 24x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 8) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$3x = 0$ или $x - 8 = 0$.

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$.

Множество решений этого уравнения — $\{0, 8\}$. Оно не совпадает с множеством $\{8\}$, так как содержит дополнительный корень $x=0$. Следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: нет, не равносильно.

г) $\frac{16}{x} = 2$

Это дробно-рациональное уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условием $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$ (с учетом ОДЗ):

$16 = 2x$.

Отсюда находим $x = \frac{16}{2} = 8$.

Найденный корень $x=8$ удовлетворяет ОДЗ.

Множество решений этого уравнения — $\{8\}$. Поскольку множества решений совпадают, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильно.