Номер 26.7, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 26. Равносильность уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 26.7, страница 166.

Равносильны ли уравнения:

26.7. а) $3^{\sqrt{x}+4} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x = 1$ и $\sqrt{x+4}-x=0$;

б) $\sqrt{0,5x} \cdot 2^{x^2}\sqrt{2} = 4$ и $x^2 - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} = 2?

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их корней совпадают. Чтобы определить, равносильны ли данные пары уравнений, нужно найти все корни каждого уравнения и сравнить полученные множества решений.

а) $3^{\sqrt{x}+4} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x = 1$ и $\sqrt{x+4} - x = 0$

Решим первое уравнение: $3^{\sqrt{x}+4} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x = 1$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.
Преобразуем уравнение, приведя все степени к основанию 3:
$3^{\sqrt{x}+4} \cdot (3^{-1})^x = 3^0$
$3^{\sqrt{x}+4} \cdot 3^{-x} = 3^0$
$3^{\sqrt{x}+4-x} = 3^0$
Приравниваем показатели степени:
$\sqrt{x}+4-x = 0$
$\sqrt{x} = x-4$
Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна арифметическому квадратному корню: $x-4 \ge 0$, откуда $x \ge 4$. Это условие является более строгим, чем ОДЗ, поэтому будем использовать его.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (x-4)^2$
$x = x^2 - 8x + 16$
$x^2 - 9x + 16 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 81 - 64 = 17$.
$x_1 = \frac{9 - \sqrt{17}}{2}$, $x_2 = \frac{9 + \sqrt{17}}{2}$.
Проверим корни на соответствие условию $x \ge 4$. Так как $4 < \sqrt{17} < 5$, то $x_1 = \frac{9 - \sqrt{17}}{2} \approx \frac{9-4.12}{2} \approx 2.44$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 4$, следовательно, он посторонний.
Корень $x_2 = \frac{9 + \sqrt{17}}{2} \approx \frac{9+4.12}{2} \approx 6.56$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 4$.
Таким образом, решение первого уравнения: $x = \frac{9 + \sqrt{17}}{2}$.

Решим второе уравнение: $\sqrt{x+4} - x = 0$.
ОДЗ: $x+4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$.
Преобразуем уравнение: $\sqrt{x+4} = x$.
Так как левая часть неотрицательна, то и правая должна быть неотрицательной: $x \ge 0$. Объединяя с ОДЗ, получаем условие $x \ge 0$.
Возведем обе части в квадрат:
$x+4 = x^2$
$x^2 - x - 4 = 0$
Найдем корни: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$.
$x_1 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$, $x_2 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$.
Проверим корни на соответствие условию $x \ge 0$.
$x_1 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} < 0$, посторонний корень.
$x_2 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} > 0$, является решением.
Решение второго уравнения: $x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$.

Множества решений уравнений — $\{\frac{9 + \sqrt{17}}{2}\}$ и $\{\frac{1 + \sqrt{17}}{2}\}$ — не совпадают. Следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: нет.

б) $\sqrt{0,5^x \cdot 2^{x^2} \sqrt{2}} = 4$ и $x^2 - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} = 2$

Решим первое уравнение: $\sqrt{0,5^x \cdot 2^{x^2} \sqrt{2}} = 4$.
Выражение под корнем всегда положительно, так как $0,5^x > 0$, $2^{x^2} > 0$ и $\sqrt{2} > 0$. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$0,5^x \cdot 2^{x^2} \sqrt{2} = 4^2 = 16$
Представим все сомножители и правую часть как степени с основанием 2:
$0,5 = 2^{-1}$, $\sqrt{2} = 2^{1/2}$, $16 = 2^4$.
$(2^{-1})^x \cdot 2^{x^2} \cdot 2^{1/2} = 2^4$
$2^{-x} \cdot 2^{x^2} \cdot 2^{1/2} = 2^4$
$2^{x^2 - x + 1/2} = 2^4$
Приравниваем показатели степени:
$x^2 - x + \frac{1}{2} = 4$
$2x^2 - 2x + 1 = 8$
$2x^2 - 2x - 7 = 0$
Найдем корни: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 4 + 56 = 60$.
$x = \frac{2 \pm \sqrt{60}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{15}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{15}}{2}$.
Решения первого уравнения: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{15}}{2}$, $x_2 = \frac{1 + \sqrt{15}}{2}$.

Решим второе уравнение: $x^2 - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} = 2$.
Это квадратное уравнение. Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:
$2x^2 - x + 1 = 4$
$2x^2 - x - 3 = 0$
Найдем корни: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
$x = \frac{1 \pm 5}{4}$.
$x_1 = \frac{1 - 5}{4} = -1$, $x_2 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
Решения второго уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 1,5$.

Множество решений первого уравнения $\{\frac{1 - \sqrt{15}}{2}, \frac{1 + \sqrt{15}}{2}\}$ не совпадает с множеством решений второго уравнения $\{-1, \frac{3}{2}\}$. Следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: нет.