Номер 26.10, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 26. Равносильность уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 26.10, страница 166.

26.10. a) $\lg(x^2 - 9) + \lg(4 - x^2) = 1;$

б) $\lg(x^2 - 3x) - \lg(2x - x^2) = 0.5.$

a) $lg(x^2 - 9) + lg(4 - x^2) = 1$

Данное логарифмическое уравнение имеет смысл только тогда, когда аргументы обоих логарифмов строго положительны. Это условие определяет область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$. Запишем соответствующую систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 9 > 0 \\ 4 - x^2 > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1) Первое неравенство: $x^2 - 9 > 0$. Это равносильно $x^2 > 9$. Решениями являются интервалы $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

2) Второе неравенство: $4 - x^2 > 0$. Это равносильно $x^2 < 4$. Решением является интервал $x \in (-2; 2)$.

Область допустимых значений является пересечением множеств решений этих двух неравенств. Найдем это пересечение:

$((-\infty; -3) \cup (3; +\infty)) \cap (-2; 2) = \emptyset$

Пересечение этих множеств пусто, так как не существует чисел, которые были бы одновременно меньше -3 или больше 3, и при этом находились бы в интервале от -2 до 2.

Поскольку область допустимых значений пуста, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

б) $lg(x^2 - 3x) - lg(2x - x^2) = 0{,}5$

Для решения данного уравнения сначала найдем его область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} x^2 - 3x > 0 \\ 2x - x^2 > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности, используя метод интервалов.

1) $x^2 - 3x > 0 \Rightarrow x(x - 3) > 0$. Корнями уравнения $x(x-3)=0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. График функции $y = x^2 - 3x$ — парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями: $x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$.

2) $2x - x^2 > 0 \Rightarrow x(2 - x) > 0$. Корнями уравнения $x(2-x)=0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. График функции $y = 2x - x^2$ — парабола с ветвями вниз, поэтому она принимает положительные значения на интервале между корнями: $x \in (0; 2)$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств решений:

$((-\infty; 0) \cup (3; +\infty)) \cap (0; 2) = \emptyset$

Пересечение этих множеств является пустым множеством.

Так как область допустимых значений не содержит ни одного числа, то и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.