Номер 26.16, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 26. Равносильность уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 26.16, страница 167.

26.16. Найдите целочисленный корень уравнения:

a) $\frac{\log_2 (7 + 6x - x^2) - \log_2 (x - 2)}{10x - 24 - x^2} = 2;$

б) $\frac{\log_{12} (6 + 5x - x^2)}{x^2 - 9x + 20} = 2^{-\sqrt{x-2}}.$

а)

Исходное уравнение:
$$ \frac{\log_2(7 + 6x - x^2) - \log_2(x-2)}{10x - 24 - x^2} = 2 $$Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для $x$. Для этого должны выполняться следующие условия:
1. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$7 + 6x - x^2 > 0 \implies x^2 - 6x - 7 < 0$. Корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x - 7 = 0$ находим по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 6, x_1 \cdot x_2 = -7$, откуда $x_1 = -1$ и $x_2 = 7$. Неравенство $(x+1)(x-7) < 0$ выполняется при $-1 < x < 7$.
$x - 2 > 0 \implies x > 2$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$10x - 24 - x^2 \neq 0 \implies x^2 - 10x + 24 \neq 0$. Корни квадратного трехчлена $x^2 - 10x + 24 = 0$ находим по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 10, x_1 \cdot x_2 = 24$, откуда $x_1 = 4$ и $x_2 = 6$. Следовательно, $x \neq 4$ и $x \neq 6$.

Объединяя все условия ($x \in (-1, 7)$, $x > 2$, $x \neq 4$, $x \neq 6$), получаем ОДЗ: $x \in (2, 4) \cup (4, 6) \cup (6, 7)$.
Целочисленные значения $x$, принадлежащие ОДЗ, это $3$ и $5$.
Так как требуется найти целочисленный корень, проверим каждое из этих значений, подставив их в исходное уравнение.

При $x = 3$:
$$ \frac{\log_2(7 + 6 \cdot 3 - 3^2) - \log_2(3-2)}{10 \cdot 3 - 24 - 3^2} = \frac{\log_2(7 + 18 - 9) - \log_2(1)}{30 - 24 - 9} = \frac{\log_2(16) - 0}{6-9} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3} $$Поскольку $-\frac{4}{3} \neq 2$, $x = 3$ не является корнем уравнения.

При $x = 5$:
$$ \frac{\log_2(7 + 6 \cdot 5 - 5^2) - \log_2(5-2)}{10 \cdot 5 - 24 - 5^2} = \frac{\log_2(7 + 30 - 25) - \log_2(3)}{50 - 24 - 25} = \frac{\log_2(12) - \log_2(3)}{1} $$Используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$, получаем:
$$ \log_2\left(\frac{12}{3}\right) = \log_2(4) = 2 $$Поскольку $2 = 2$, $x = 5$ является корнем уравнения.
Ответ: 5

б)

Исходное уравнение:
$$ \frac{\log_{12}(6 + 5x - x^2)}{x^2 - 9x + 20} = 2^{-\sqrt{x-2}} $$Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для $x$.
1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$6 + 5x - x^2 > 0 \implies x^2 - 5x - 6 < 0$. Корни уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 6$. Неравенство $(x+1)(x-6) < 0$ выполняется при $-1 < x < 6$.
2. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.
3. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$x^2 - 9x + 20 \neq 0$. Корни уравнения $x^2 - 9x + 20 = 0$ равны $x_1 = 4$ и $x_2 = 5$. Следовательно, $x \neq 4$ и $x \neq 5$.

Объединяя все условия ($x \in (-1, 6)$, $x \ge 2$, $x \neq 4$, $x \neq 5$), получаем ОДЗ: $x \in [2, 4) \cup (4, 5) \cup (5, 6)$.
Целочисленные значения $x$, принадлежащие ОДЗ, это $2$ и $3$.
Проверим каждое из этих значений.

При $x = 2$:
Левая часть:
$$ \frac{\log_{12}(6 + 5 \cdot 2 - 2^2)}{2^2 - 9 \cdot 2 + 20} = \frac{\log_{12}(6 + 10 - 4)}{4 - 18 + 20} = \frac{\log_{12}(12)}{6} = \frac{1}{6} $$Правая часть:
$$ 2^{-\sqrt{2-2}} = 2^{-\sqrt{0}} = 2^0 = 1 $$Поскольку $\frac{1}{6} \neq 1$, $x = 2$ не является корнем уравнения.

При $x = 3$:
Левая часть:
$$ \frac{\log_{12}(6 + 5 \cdot 3 - 3^2)}{3^2 - 9 \cdot 3 + 20} = \frac{\log_{12}(6 + 15 - 9)}{9 - 27 + 20} = \frac{\log_{12}(12)}{2} = \frac{1}{2} $$Правая часть:
$$ 2^{-\sqrt{3-2}} = 2^{-\sqrt{1}} = 2^{-1} = \frac{1}{2} $$Поскольку левая и правая части равны ($\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$), $x = 3$ является корнем уравнения.
Ответ: 3