Номер 26.19, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 26. Равносильность уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 26.19, страница 167.

26.19. Найдите сумму всех корней уравнения:

a) $\lg(x^2 - 10x + 25) \cdot \log_{11}(3x - 5) \cdot \log_{12}(x^2 - 4x + 4) = 0;$

б) $\log_4(x^2 - 12x + 36) \cdot \log_5(3x - 8) \cdot \log_6(x^2 - 6x + 9) = 0.$

а) Рассмотрим уравнение $lg(x^2 - 10x + 25) \cdot \log_{11}(3x - 5) \cdot \log_{12}(x^2 - 4x + 4) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а остальные при этом определены. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), для этого аргументы всех логарифмов должны быть строго больше нуля:

$\begin{cases} x^2 - 10x + 25 > 0 \\ 3x - 5 > 0 \\ x^2 - 4x + 4 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} (x - 5)^2 > 0 \\ x > 5/3 \\ (x - 2)^2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 5 \\ x > 5/3 \\ x \neq 2 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (5/3, 2) \cup (2, 5) \cup (5, \infty)$.

Теперь решим совокупность уравнений, приравнивая каждый множитель к нулю, и проверим корни на соответствие ОДЗ:

1) $\lg(x^2 - 10x + 25) = 0 \implies x^2 - 10x + 25 = 1 \implies x^2 - 10x + 24 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 6$. Оба корня входят в ОДЗ.

2) $\log_{11}(3x - 5) = 0 \implies 3x - 5 = 1 \implies 3x = 6 \implies x_3 = 2$.
Этот корень не входит в ОДЗ, так как $x \neq 2$.

3) $\log_{12}(x^2 - 4x + 4) = 0 \implies x^2 - 4x + 4 = 1 \implies x^2 - 4x + 3 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_4 = 1$ и $x_5 = 3$.
Корень $x_4 = 1$ не входит в ОДЗ, так как $1 < 5/3$.
Корень $x_5 = 3$ входит в ОДЗ.

Следовательно, уравнение имеет три корня: $3, 4, 6$.

Сумма всех корней: $3 + 4 + 6 = 13$.

Ответ: 13

б) Рассмотрим уравнение $\log_4(x^2 - 12x + 36) \cdot \log_5(3x - 8) \cdot \log_6(x^2 - 6x + 9) = 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x^2 - 12x + 36 > 0 \\ 3x - 8 > 0 \\ x^2 - 6x + 9 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} (x - 6)^2 > 0 \\ x > 8/3 \\ (x - 3)^2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 6 \\ x > 8/3 \\ x \neq 3 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (8/3, 3) \cup (3, 6) \cup (6, \infty)$.

Решим совокупность уравнений, приравнивая каждый множитель к нулю, и проверим корни на соответствие ОДЗ:

1) $\log_4(x^2 - 12x + 36) = 0 \implies x^2 - 12x + 36 = 1 \implies x^2 - 12x + 35 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = 7$. Оба корня входят в ОДЗ.

2) $\log_5(3x - 8) = 0 \implies 3x - 8 = 1 \implies 3x = 9 \implies x_3 = 3$.
Этот корень не входит в ОДЗ, так как $x \neq 3$.

3) $\log_6(x^2 - 6x + 9) = 0 \implies x^2 - 6x + 9 = 1 \implies x^2 - 6x + 8 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_4 = 2$ и $x_5 = 4$.
Корень $x_4 = 2$ не входит в ОДЗ, так как $2 < 8/3$.
Корень $x_5 = 4$ входит в ОДЗ.

Следовательно, уравнение имеет три корня: $4, 5, 7$.

Сумма всех корней: $4 + 5 + 7 = 16$.

Ответ: 16