Номер 27.6, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.6, страница 168.

27.6. a) $(x^2 - 6x)^5 = (2x - 7)^5;$

б) $(\sqrt{6x - 1} + 1)^9 = (\sqrt{6x} + 8)^9;$

в) $(2^{2x} + 16)^{20} = (10 \cdot 2^x)^{20};$

г) $(\log_{0,1}^2 x - 2)^3 = (2 \log_{0,1} x + 1)^3.$

а) Дано уравнение $(x^2 - 6x)^5 = (2x - 7)^5$.

Поскольку обе части уравнения возведены в нечетную степень (5), равенство степеней равносильно равенству их оснований. Таким образом, мы можем записать:

$x^2 - 6x = 2x - 7$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 6x - 2x + 7 = 0$

$x^2 - 8x + 7 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 7. Отсюда находим корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = 7$

Можно также найти корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36 = 6^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 6}{2}$

$x_1 = \frac{8 + 6}{2} = 7$

$x_2 = \frac{8 - 6}{2} = 1$

Оба значения являются корнями уравнения.

Ответ: $1; 7$.

б) Дано уравнение $(\sqrt{6x - 1} + 1)^9 = (\sqrt{6x + 8})^9$.

Так как показатель степени (9) — нечетное число, мы можем приравнять основания степеней:

$\sqrt{6x - 1} + 1 = \sqrt{6x + 8}$

Прежде чем решать, найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 6x - 1 \ge 0 \\ 6x + 8 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 6x \ge 1 \\ 6x \ge -8 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \frac{1}{6} \\ x \ge -\frac{4}{3} \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \ge \frac{1}{6}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{6x - 1} + 1)^2 = (\sqrt{6x + 8})^2$

$(6x - 1) + 2\sqrt{6x - 1} + 1 = 6x + 8$

$6x + 2\sqrt{6x - 1} = 6x + 8$

Вычтем $6x$ из обеих частей:

$2\sqrt{6x - 1} = 8$

$\sqrt{6x - 1} = 4$

Снова возведем в квадрат:

$6x - 1 = 16$

$6x = 17$

$x = \frac{17}{6}$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $\frac{17}{6} \ge \frac{1}{6}$. Условие выполняется.

Ответ: $\frac{17}{6}$.

в) Дано уравнение $(2^{2x} + 16)^{20} = (10 \cdot 2^x)^{20}$.

Поскольку обе части уравнения возведены в четную степень (20), равенство степеней равносильно тому, что их основания равны по модулю. Это означает, что основания либо равны, либо противоположны по знаку:

$2^{2x} + 16 = 10 \cdot 2^x$ или $2^{2x} + 16 = -10 \cdot 2^x$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$. Заметим, что $2^{2x} = (2^x)^2 = t^2$.

Рассмотрим первый случай:

$t^2 + 16 = 10t$

$t^2 - 10t + 16 = 0$

По теореме Виета, $t_1 = 2$, $t_2 = 8$. Оба корня положительны, поэтому подходят.

Вернемся к исходной переменной:

1) $2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1$

2) $2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x = 3$

Рассмотрим второй случай:

$t^2 + 16 = -10t$

$t^2 + 10t + 16 = 0$

По теореме Виета, $t_3 = -2$, $t_4 = -8$. Оба корня отрицательны, что противоречит условию $t > 0$. Следовательно, во втором случае решений нет.

Ответ: $1; 3$.

г) Дано уравнение $(\log_{0.1}^2 x - 2)^3 = (2 \log_{0.1} x + 1)^3$.

Показатель степени (3) — нечетное число, поэтому мы можем приравнять основания:

$\log_{0.1}^2 x - 2 = 2 \log_{0.1} x + 1$

ОДЗ для логарифма: $x > 0$.

Сделаем замену. Пусть $y = \log_{0.1} x$. Уравнение примет вид:

$y^2 - 2 = 2y + 1$

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета:

$y_1 = 3$, $y_2 = -1$

Выполним обратную замену:

1) $\log_{0.1} x = 3 \implies x = (0.1)^3 = 0.001$

2) $\log_{0.1} x = -1 \implies x = (0.1)^{-1} = 10$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $0.001; 10$.