Номер 27.13, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.13, страница 169.

27.13. a) $\sqrt{x^5} - 3\sqrt{x^3} - 18\sqrt{x} = 0;$

б) $\sqrt[4]{x^9} - 2\sqrt[4]{x^5} - 15\sqrt[4]{x} = 0.$

a) $\sqrt{x^5} - 3\sqrt{x^3} - 18\sqrt{x} = 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. В данном уравнении это переменная $x$. Следовательно, ОДЗ: $x \ge 0$.

2. Преобразуем уравнение, используя свойство корней $\sqrt{a^n} = a^{n/2}$ и $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ для $a,b \ge 0$.

$\sqrt{x^5} = \sqrt{x^4 \cdot x} = \sqrt{x^4} \cdot \sqrt{x} = x^2\sqrt{x}$

$\sqrt{x^3} = \sqrt{x^2 \cdot x} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{x} = x\sqrt{x}$

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$x^2\sqrt{x} - 3x\sqrt{x} - 18\sqrt{x} = 0$

3. Вынесем общий множитель $\sqrt{x}$ за скобки:

$\sqrt{x}(x^2 - 3x - 18) = 0$

4. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\sqrt{x} = 0$. Возведя обе части в квадрат, получаем $x_1 = 0$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $x^2 - 3x - 18 = 0$. Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 = 9^2$

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 9}{2}$

$x_2 = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_3 = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

5. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_3 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-3 < 0$.

Таким образом, решениями уравнения являются $x=0$ и $x=6$.

Ответ: $0; 6$.

б) $\sqrt[4]{x^9} - 2\sqrt[4]{x^5} - 15\sqrt[4]{x} = 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня четвертой степени должно быть неотрицательным. Следовательно, ОДЗ: $x \ge 0$.

2. Преобразуем уравнение, используя свойство корней $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$ и $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ для $a,b \ge 0$.

$\sqrt[4]{x^9} = \sqrt[4]{x^8 \cdot x} = \sqrt[4]{x^8} \cdot \sqrt[4]{x} = x^2\sqrt[4]{x}$

$\sqrt[4]{x^5} = \sqrt[4]{x^4 \cdot x} = \sqrt[4]{x^4} \cdot \sqrt[4]{x} = x\sqrt[4]{x}$

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$x^2\sqrt[4]{x} - 2x\sqrt[4]{x} - 15\sqrt[4]{x} = 0$

3. Вынесем общий множитель $\sqrt[4]{x}$ за скобки:

$\sqrt[4]{x}(x^2 - 2x - 15) = 0$

4. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\sqrt[4]{x} = 0$. Возведя обе части в четвертую степень, получаем $x_1 = 0$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $x^2 - 2x - 15 = 0$. Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 = 8^2$

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 8}{2}$

$x_2 = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_3 = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

5. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_3 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-3 < 0$.

Таким образом, решениями уравнения являются $x=0$ и $x=5$.

Ответ: $0; 5$.