Номер 27.15, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.15, страница 169.

Решите уравнение:

27.15. a) $2x^2 \sin x - 8 \sin x + 4 = x^2;$

б) $2x^2 \cos x + 9 = 18 \cos x + x^2.$

a) $2x^2 \sin x - 8 \sin x + 4 = x^2$

Для решения данного уравнения сгруппируем слагаемые, перенеся все в левую часть:

$2x^2 \sin x - 8 \sin x - x^2 + 4 = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы слагаемых:

$(2x^2 \sin x - 8 \sin x) - (x^2 - 4) = 0$

$2 \sin x (x^2 - 4) - 1 \cdot (x^2 - 4) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x^2 - 4)$ за скобки:

$(x^2 - 4)(2 \sin x - 1) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $x^2 - 4 = 0$

Это квадратное уравнение, которое решается следующим образом:

$x^2 = 4$

$x = \pm\sqrt{4}$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

2) $2 \sin x - 1 = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение:

$2 \sin x = 1$

$\sin x = \frac{1}{2}$

Общее решение этого уравнения записывается формулой:

$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Таким образом, решениями исходного уравнения являются все значения $x$, найденные в обоих случаях.

Ответ: $x = \pm 2$; $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $2x^2 \cos x + 9 = 18 \cos x + x^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы сгруппировать их:

$2x^2 \cos x - 18 \cos x - x^2 + 9 = 0$

Вынесем общие множители из групп слагаемых:

$(2x^2 \cos x - 18 \cos x) - (x^2 - 9) = 0$

$2 \cos x (x^2 - 9) - 1 \cdot (x^2 - 9) = 0$

Вынесем общий множитель $(x^2 - 9)$:

$(x^2 - 9)(2 \cos x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $x^2 - 9 = 0$

Решаем это квадратное уравнение:

$x^2 = 9$

$x = \pm\sqrt{9}$

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$

2) $2 \cos x - 1 = 0$

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$2 \cos x = 1$

$\cos x = \frac{1}{2}$

Общее решение этого уравнения имеет вид:

$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Решениями исходного уравнения является объединение решений, полученных в обоих случаях.

Ответ: $x = \pm 3$; $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.