Номер 27.8, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.8, страница 168.

27.8. а) $2^{x^2+3} - 8^{x+1} = 0;$

б) $27^{5-x^2} - 3^{x^2-1} = 0.$

а) $2^{x^2+3} - 8^{x+1} = 0$

Для решения данного показательного уравнения необходимо привести обе его части к одному основанию.
Сначала перенесем второе слагаемое в правую часть уравнения:
$2^{x^2+3} = 8^{x+1}$
Заметим, что $8 = 2^3$. Подставим это в правую часть уравнения:
$2^{x^2+3} = (2^3)^{x+1}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$2^{x^2+3} = 2^{3(x+1)}$
$2^{x^2+3} = 2^{3x+3}$
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$x^2+3 = 3x+3$
Теперь решим полученное квадратное уравнение. Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 3x + 3 - 3 = 0$
$x^2 - 3x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 3) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x_1 = 0$ или $x - 3 = 0$, откуда $x_2 = 3$.
Ответ: $0; 3$.

б) $27^{5-x^2} - 3^{x^2-1} = 0$

Аналогично первому пункту, приведем обе части уравнения к одному основанию. В данном случае это будет основание 3.
Перенесем второе слагаемое в правую часть:
$27^{5-x^2} = 3^{x^2-1}$
Так как $27 = 3^3$, подставим это в левую часть уравнения:
$(3^3)^{5-x^2} = 3^{x^2-1}$
Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$3^{3(5-x^2)} = 3^{x^2-1}$
$3^{15-3x^2} = 3^{x^2-1}$
Поскольку основания степеней одинаковы, приравниваем их показатели:
$15 - 3x^2 = x^2 - 1$
Решим полученное квадратное уравнение. Сгруппируем члены с переменной в одной части, а константы — в другой:
$15 + 1 = x^2 + 3x^2$
$16 = 4x^2$
Разделим обе части на 4:
$x^2 = 4$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{4}$
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.
Ответ: $-2; 2$.