Номер 27.4, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.4, страница 168.

○27.4.

a) $0,5^{\sin x - \cos x} = 1$;

б) $(\sqrt{3})^{\sin^2 x - 1} \cdot 3\sqrt{3} = \sqrt[4]{729}$.

а) $0,5^{\sin x - \cos x} = 1$

Представим обе части уравнения в виде степени с одинаковым основанием. В данном случае удобно использовать основание 0,5, так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1.

$0,5^{\sin x - \cos x} = 0,5^0$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$\sin x - \cos x = 0$

Перенесем $\cos x$ в правую часть:

$\sin x = \cos x$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части уравнения на $\cos x$. Это можно делать, если $\cos x \neq 0$. Если предположить, что $\cos x = 0$, то из уравнения $\sin x = \cos x$ следует, что и $\sin x = 0$. Однако, одновременное равенство синуса и косинуса нулю невозможно, так как нарушается основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ ($0^2 + 0^2 \neq 1$). Следовательно, $\cos x \neq 0$, и деление является корректным.

$\frac{\sin x}{\cos x} = 1$

$\tan x = 1$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:

$x = \arctan(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $(\sqrt{3})^{\sin^2 x - 1} \cdot 3\sqrt{3} = \sqrt[4]{729}$

Для решения этого показательного уравнения приведем все его части к одному основанию, в данном случае к основанию 3.

Преобразуем каждый множитель и правую часть:

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$

$3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1 + \frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$

$729 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6$

$\sqrt[4]{729} = \sqrt[4]{3^6} = 3^{\frac{6}{4}} = 3^{\frac{3}{2}}$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(3^{\frac{1}{2}})^{\sin^2 x - 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$

Применим свойства степеней: $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$3^{\frac{1}{2}(\sin^2 x - 1)} \cdot 3^{\frac{3}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$

$3^{\frac{1}{2}\sin^2 x - \frac{1}{2} + \frac{3}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$

$3^{\frac{1}{2}\sin^2 x + 1} = 3^{\frac{3}{2}}$

Теперь, когда основания степеней равны, приравняем их показатели:

$\frac{1}{2}\sin^2 x + 1 = \frac{3}{2}$

$\frac{1}{2}\sin^2 x = \frac{3}{2} - 1$

$\frac{1}{2}\sin^2 x = \frac{1}{2}$

$\sin^2 x = 1$

Это уравнение распадается на два:

1) $\sin x = 1$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x = -1$, откуда $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно объединить в одну. На тригонометрической окружности это верхняя и нижняя точки, расстояние между которыми равно $\pi$.

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.