Номер 26.18, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 26. Равносильность уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 26.18, страница 167.

•26.18. Решите уравнение:

a) $ \frac{\lg(7x - x^2 - 9) \cdot \lg(9 - 2x)}{x - 2} = 0; $

б) $ \frac{\lg(8x - x^2 - 14) \cdot \lg(13 - 3x)}{x - 3} = 0. $

а) Исходное уравнение: $\frac{\lg(7x - x^2 - 9) \cdot \lg(9 - 2x)}{x - 2} = 0$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Кроме того, должны быть выполнены условия существования логарифмов (аргументы логарифмов должны быть строго положительными). Это приводит к системе условий:
$ \begin{cases} \lg(7x - x^2 - 9) \cdot \lg(9 - 2x) = 0 \\ 7x - x^2 - 9 > 0 \\ 9 - 2x > 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases} $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:
1. $7x - x^2 - 9 > 0 \implies x^2 - 7x + 9 < 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 7x + 9 = 0$.
Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 49 - 36 = 13$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}$.
Поскольку ветви параболы $y = x^2 - 7x + 9$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 7x + 9 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (\frac{7 - \sqrt{13}}{2}; \frac{7 + \sqrt{13}}{2})$.
2. $9 - 2x > 0 \implies 2x < 9 \implies x < 4.5$.
3. $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
Найдем пересечение всех условий ОДЗ. Приближенные значения: $\frac{7 - \sqrt{13}}{2} \approx \frac{7 - 3.61}{2} \approx 1.7$ и $\frac{7 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{7 + 3.61}{2} \approx 5.3$.
Пересекая интервалы $(\frac{7 - \sqrt{13}}{2}; \frac{7 + \sqrt{13}}{2})$ и $(-\infty; 4.5)$ и исключая точку $x=2$, получаем ОДЗ: $x \in (\frac{7 - \sqrt{13}}{2}; 2) \cup (2; 4.5)$.
Теперь решим уравнение из системы:
$\lg(7x - x^2 - 9) \cdot \lg(9 - 2x) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
Случай 1: $\lg(7x - x^2 - 9) = 0$.
$7x - x^2 - 9 = 1 \implies x^2 - 7x + 10 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = 5$.
Случай 2: $\lg(9 - 2x) = 0$.
$9 - 2x = 1 \implies 2x = 8 \implies x_3 = 4$.
Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ $x \in (\frac{7 - \sqrt{13}}{2}; 2) \cup (2; 4.5)$.
- $x_1 = 2$ не входит в ОДЗ, так как $x \neq 2$.
- $x_2 = 5$ не входит в ОДЗ, так как $5 > 4.5$.
- $x_3 = 4$ входит в ОДЗ, так как $\frac{7 - \sqrt{13}}{2} < 4 < 4.5$.
Следовательно, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 4.

б) Исходное уравнение: $\frac{\lg(8x - x^2 - 14) \cdot \lg(13 - 3x)}{x - 3} = 0$
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} \lg(8x - x^2 - 14) \cdot \lg(13 - 3x) = 0 \\ 8x - x^2 - 14 > 0 \\ 13 - 3x > 0 \\ x - 3 \neq 0 \end{cases} $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
1. $8x - x^2 - 14 > 0 \implies x^2 - 8x + 14 < 0$.
Найдем корни $x^2 - 8x + 14 = 0$.
Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 64 - 56 = 8$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 4 \pm \sqrt{2}$.
Решение неравенства: $x \in (4 - \sqrt{2}; 4 + \sqrt{2})$.
2. $13 - 3x > 0 \implies 3x < 13 \implies x < \frac{13}{3}$.
3. $x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$.
Объединим условия ОДЗ. Приближенные значения: $4 - \sqrt{2} \approx 4 - 1.41 = 2.59$, $4 + \sqrt{2} \approx 4 + 1.41 = 5.41$, $\frac{13}{3} \approx 4.33$.
Пересечение интервалов $(4 - \sqrt{2}; 4 + \sqrt{2})$ и $(-\infty; \frac{13}{3})$ дает $(4 - \sqrt{2}; \frac{13}{3})$. Исключая $x=3$, получаем ОДЗ: $x \in (4 - \sqrt{2}; 3) \cup (3; \frac{13}{3})$.
Теперь решим уравнение:
$\lg(8x - x^2 - 14) \cdot \lg(13 - 3x) = 0$
Случай 1: $\lg(8x - x^2 - 14) = 0$.
$8x - x^2 - 14 = 1 \implies x^2 - 8x + 15 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 3$, $x_2 = 5$.
Случай 2: $\lg(13 - 3x) = 0$.
$13 - 3x = 1 \implies 3x = 12 \implies x_3 = 4$.
Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ $x \in (4 - \sqrt{2}; 3) \cup (3; \frac{13}{3})$.
- $x_1 = 3$ не входит в ОДЗ, так как $x \neq 3$.
- $x_2 = 5$ не входит в ОДЗ, так как $5 > \frac{13}{3} \approx 4.33$.
- $x_3 = 4$ входит в ОДЗ, так как $3 < 4 < \frac{13}{3}$.
Таким образом, решением является только $x=4$.
Ответ: 4.