Номер 26.12, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 26. Равносильность уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 26.12, страница 166.

26.12. a) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = x^2 - 1;$

б) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = 1 - x^2;$

В) $\sqrt{x^4 + x - 9} = 1 - x^2;$

Г) $\sqrt{x^4 + x - 9} = x^2 - 1.$

а) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = x^2 - 1$

Это иррациональное уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} x^4 - 3x - 1 = (x^2 - 1)^2 \\ x^2 - 1 \geq 0 \end{cases}$

Сначала решим неравенство:

$x^2 - 1 \geq 0$

$x^2 \geq 1$

$x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$

Теперь решим уравнение:

$x^4 - 3x - 1 = (x^2 - 1)^2$

$x^4 - 3x - 1 = x^4 - 2x^2 + 1$

$-3x - 1 = -2x^2 + 1$

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию, так как $2 \in [1; +\infty)$.

Корень $x_2 = -0.5$ не удовлетворяет условию, так как $-0.5 \notin (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$. Этот корень является посторонним.

Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: $2$

б) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = 1 - x^2$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^4 - 3x - 1 = (1 - x^2)^2 \\ 1 - x^2 \geq 0 \end{cases}$

Решим неравенство:

$1 - x^2 \geq 0$

$x^2 \leq 1$

$x \in [-1; 1]$

Решим уравнение. Так как $(1 - x^2)^2 = (x^2 - 1)^2$, уравнение будет таким же, как и в пункте а):

$x^4 - 3x - 1 = x^4 - 2x^2 + 1$

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -0.5$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \in [-1; 1]$.

Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет условию, так как $2 \notin [-1; 1]$. Это посторонний корень.

Корень $x_2 = -0.5$ удовлетворяет условию, так как $-0.5 \in [-1; 1]$.

Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: $-0.5$

в) $\sqrt{x^4 + x - 9} = 1 - x^2$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^4 + x - 9 = (1 - x^2)^2 \\ 1 - x^2 \geq 0 \end{cases}$

Условие $1 - x^2 \geq 0$ означает, что $x \in [-1; 1]$.

Решим уравнение:

$x^4 + x - 9 = 1 - 2x^2 + x^4$

$x - 9 = 1 - 2x^2$

$2x^2 + x - 10 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 9}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 9}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \in [-1; 1]$.

Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет условию ($2 \notin [-1; 1]$).

Корень $x_2 = -2.5$ не удовлетворяет условию ($-2.5 \notin [-1; 1]$).

Оба корня являются посторонними, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней

г) $\sqrt{x^4 + x - 9} = x^2 - 1$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^4 + x - 9 = (x^2 - 1)^2 \\ x^2 - 1 \geq 0 \end{cases}$

Условие $x^2 - 1 \geq 0$ означает, что $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

Уравнение совпадает с уравнением из пункта в):

$x^4 + x - 9 = x^4 - 2x^2 + 1$

$2x^2 + x - 10 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2.5$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию, так как $2 \in [1; +\infty)$.

Корень $x_2 = -2.5$ удовлетворяет условию, так как $-2.5 \in (-\infty; -1]$.

Оба корня подходят. Дополнительно можно выполнить проверку подстановкой в исходное уравнение, чтобы убедиться, что подкоренное выражение неотрицательно (хотя это следует из $x^4+x-9=(x^2-1)^2 \geq 0$).

Для $x=2$: $\sqrt{2^4+2-9} = \sqrt{16+2-9} = \sqrt{9} = 3$. Правая часть: $2^2-1=3$. $3=3$, верно.

Для $x=-2.5$: $\sqrt{(-2.5)^4+(-2.5)-9} = \sqrt{39.0625-2.5-9} = \sqrt{27.5625} = 5.25$. Правая часть: $(-2.5)^2-1 = 6.25-1 = 5.25$. $5.25=5.25$, верно.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $-2.5; 2$