Номер 26.9, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 26. Равносильность уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 26.9, страница 166.

Докажите, что уравнение не имеет корней:

26.9. a) $\sqrt{3x - 5} = \sqrt{9 - 7x}$;

б) $\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{1 - x^2} = 4.$

а) Чтобы доказать, что уравнение $\sqrt{3x - 5} = \sqrt{9 - 7x}$ не имеет корней, найдем его область допустимых значений (ОДЗ). Для этого необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными. Составим и решим систему неравенств:
$\begin{cases} 3x - 5 \ge 0 \\ 9 - 7x \ge 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 3x \ge 5 \\ -7x \ge -9 \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge \frac{5}{3} \\ x \le \frac{9}{7} \end{cases}$
Сравним полученные граничные значения: $\frac{5}{3}$ и $\frac{9}{7}$. Приведем дроби к общему знаменателю $21$:
$\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{35}{21}$
$\frac{9}{7} = \frac{9 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{27}{21}$
Так как $\frac{35}{21} > \frac{27}{21}$, то и $\frac{5}{3} > \frac{9}{7}$.
Система неравенств требует, чтобы переменная $x$ была одновременно больше или равна $\frac{5}{3}$ и меньше или равна $\frac{9}{7}$. Не существует такого числа $x$, которое было бы больше большего числа и одновременно меньше меньшего. Следовательно, система не имеет решений. Это означает, что область допустимых значений уравнения пуста.
Ответ: Так как область допустимых значений уравнения является пустым множеством, уравнение не имеет корней.

б) Чтобы доказать, что уравнение $\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{1 - x^2} = 4$ не имеет корней, найдем его область допустимых значений (ОДЗ). Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} x^2 - 4 \ge 0 \\ 1 - x^2 \ge 0 \end{cases}$
Решим эту систему:
$\begin{cases} x^2 \ge 4 \\ x^2 \le 1 \end{cases}$
Эта система неравенств не имеет решений, так как не существует такого действительного числа $x$, квадрат которого был бы одновременно больше или равен $4$ и меньше или равен $1$.
Для наглядности, решим каждое неравенство отдельно:
1) $x^2 \ge 4 \Rightarrow |x| \ge 2 \Rightarrow x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.
2) $x^2 \le 1 \Rightarrow |x| \le 1 \Rightarrow x \in [-1; 1]$.
Пересечение этих двух множеств пусто: $( (-\infty; -2] \cup [2; +\infty) ) \cap [-1; 1] = \emptyset$.
Поскольку область допустимых значений пуста, левая часть уравнения не определена ни для какого значения $x$.
Ответ: Уравнение не имеет корней, так как его область допустимых значений является пустым множеством.