Номер 26.2, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 26. Равносильность уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 26.2, страница 165.

26.2. Равносильно ли уравнение $ \sin x = 0 $ уравнению:

a) $ \cos x = 1; $

б) $ \operatorname{tg} x = 0; $

в) $ \cos 2x = 1; $

г) $ \sqrt{x - 1} \cdot \sin x = 0? $

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают. Чтобы ответить на вопрос, нужно найти множества решений для каждого уравнения и сравнить их с множеством решений исходного уравнения `sin(x) = 0`.

Решение исходного уравнения `sin(x) = 0` — это `x = \pi n`, где `n` — любое целое число (`n \in \mathbb{Z}`). Множество решений представляет собой набор точек `\{..., -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, ...\}`.

а) Равносильно ли уравнение `sin(x) = 0` уравнению `cos(x) = 1`?

Решим уравнение `cos(x) = 1`. Его решениями является серия корней `x = 2\pi k`, где `k \in \mathbb{Z}`. Множество решений этого уравнения: `\{..., -4\pi, -2\pi, 0, 2\pi, 4\pi, ...\}`.Сравнивая множества решений, видим, что они не совпадают. Например, `x = \pi` является решением уравнения `sin(x) = 0`, но не является решением уравнения `cos(x) = 1`, поскольку `cos(\pi) = -1 \ne 1`. Таким образом, уравнения не равносильны.

Ответ: нет.

б) Равносильно ли уравнение `sin(x) = 0` уравнению `tg(x) = 0`?

Уравнение `tg(x) = 0` определяется на множестве, где `cos(x) \ne 0`, то есть `x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k` для `k \in \mathbb{Z}`. Уравнение `tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} = 0` равносильно тому, что `sin(x) = 0` при условии, что `cos(x) \ne 0`.Решениями `sin(x) = 0` являются `x = \pi n` для `n \in \mathbb{Z}`. Для этих значений `x` косинус равен `cos(\pi n) = (-1)^n`. Поскольку `(-1)^n` никогда не равно нулю, все решения уравнения `sin(x) = 0` входят в область определения тангенса и являются решениями уравнения `tg(x) = 0`.Следовательно, множества решений обоих уравнений совпадают.

Ответ: да.

в) Равносильно ли уравнение `sin(x) = 0` уравнению `cos(2x) = 1`?

Решим уравнение `cos(2x) = 1`. Общее решение для `cos(y) = 1` есть `y = 2\pi k`, где `k \in \mathbb{Z}`. В нашем случае `y = 2x`, поэтому `2x = 2\pi k`, откуда `x = \pi k`, где `k \in \mathbb{Z}`.Это множество решений `\{..., -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, ...\}` в точности совпадает с множеством решений уравнения `sin(x) = 0`.Также можно преобразовать уравнение, используя формулу косинуса двойного угла: `cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)`.`1 - 2sin^2(x) = 1``-2sin^2(x) = 0``sin(x) = 0`Поскольку одно уравнение преобразуется в другое равносильными переходами, они равносильны.

Ответ: да.

г) Равносильно ли уравнение `sin(x) = 0` уравнению `\sqrt{x-1} \cdot sin(x) = 0`?

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для уравнения `\sqrt{x-1} \cdot sin(x) = 0`. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: `x - 1 \ge 0`, то есть `x \ge 1`.Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю (а другой при этом существует).1. `\sqrt{x-1} = 0 \implies x-1=0 \implies x=1`. Это значение удовлетворяет ОДЗ.2. `sin(x) = 0 \implies x = \pi n`, где `n \in \mathbb{Z}`. Из этих решений нужно выбрать те, что удовлетворяют ОДЗ `x \ge 1`.`\pi n \ge 1 \implies n \ge \frac{1}{\pi}`. Так как `\frac{1}{\pi} \approx 0.318` и `n` целое, то `n` может быть `1, 2, 3, ...`.Таким образом, множество решений второго уравнения — это `\{1\} \cup \{\pi, 2\pi, 3\pi, ...\}`.Множество решений первого уравнения `sin(x) = 0` — `\{\pi n | n \in \mathbb{Z}\}`.Эти множества не совпадают. Например, `x=0` является решением `sin(x)=0`, но не входит в ОДЗ второго уравнения. А `x=1` является решением второго уравнения, но не является решением первого, т.к. `sin(1) \ne 0`. Уравнения не равносильны.

Ответ: нет.