Номер 26.2, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

26.2. Равносильно ли уравнение $ \sin x = 0 $ уравнению:

a) $ \cos x = 1; $

б) $ \operatorname{tg} x = 0; $

в) $ \cos 2x = 1; $

г) $ \sqrt{x - 1} \cdot \sin x = 0? $

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают. Чтобы ответить на вопрос, нужно найти множества решений для каждого уравнения и сравнить их с множеством решений исходного уравнения $sin(x) = 0$.

Решение исходного уравнения $sin(x) = 0$ — это $x = \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$). Множество решений представляет собой набор точек $\{..., -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, ...\}$.

а) Равносильно ли уравнение $sin(x) = 0$ уравнению $cos(x) = 1$?

Решим уравнение $cos(x) = 1$. Его решениями является серия корней $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Множество решений этого уравнения: $\{..., -4\pi, -2\pi, 0, 2\pi, 4\pi, ...\}$.Сравнивая множества решений, видим, что они не совпадают. Например, $x = \pi$ является решением уравнения $sin(x) = 0$, но не является решением уравнения $cos(x) = 1$, поскольку $cos(\pi) = -1 \ne 1$. Таким образом, уравнения не равносильны.

Ответ: нет.

б) Равносильно ли уравнение $sin(x) = 0$ уравнению $tg(x) = 0$?

Уравнение $tg(x) = 0$ определяется на множестве, где $cos(x) \ne 0$, то есть $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$. Уравнение $tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} = 0$ равносильно тому, что $sin(x) = 0$ при условии, что $cos(x) \ne 0$.Решениями $sin(x) = 0$ являются $x = \pi n$ для $n \in \mathbb{Z}$. Для этих значений $x$ косинус равен $cos(\pi n) = (-1)^n$. Поскольку $(-1)^n$ никогда не равно нулю, все решения уравнения $sin(x) = 0$ входят в область определения тангенса и являются решениями уравнения $tg(x) = 0$.Следовательно, множества решений обоих уравнений совпадают.

Ответ: да.

в) Равносильно ли уравнение $sin(x) = 0$ уравнению $cos(2x) = 1$?

Решим уравнение $cos(2x) = 1$. Общее решение для $cos(y) = 1$ есть $y = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В нашем случае $y = 2x$, поэтому $2x = 2\pi k$, откуда $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Это множество решений $\{..., -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, ...\}$ в точности совпадает с множеством решений уравнения $sin(x) = 0$.Также можно преобразовать уравнение, используя формулу косинуса двойного угла: $cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)$.$1 - 2sin^2(x) = 1$$-2sin^2(x) = 0$$sin(x) = 0$Поскольку одно уравнение преобразуется в другое равносильными переходами, они равносильны.

Ответ: да.

г) Равносильно ли уравнение $sin(x) = 0$ уравнению $\sqrt{x-1} \cdot sin(x) = 0$?

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для уравнения $\sqrt{x-1} \cdot sin(x) = 0$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю (а другой при этом существует).1. $\sqrt{x-1} = 0 \implies x-1=0 \implies x=1$. Это значение удовлетворяет ОДЗ.2. $sin(x) = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Из этих решений нужно выбрать те, что удовлетворяют ОДЗ $x \ge 1$.$\pi n \ge 1 \implies n \ge \frac{1}{\pi}$. Так как $\frac{1}{\pi} \approx 0.318$ и $n$ целое, то $n$ может быть $1, 2, 3, ...$.Таким образом, множество решений второго уравнения — это $\{1\} \cup \{\pi, 2\pi, 3\pi, ...\}$.Множество решений первого уравнения $sin(x) = 0$ — $\{\pi n | n \in \mathbb{Z}\}$.Эти множества не совпадают. Например, $x=0$ является решением $sin(x)=0$, но не входит в ОДЗ второго уравнения. А $x=1$ является решением второго уравнения, но не является решением первого, т.к. $sin(1) \ne 0$. Уравнения не равносильны.

Ответ: нет.