Номер 25.19, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 25. Гауссова кривая. Закон больших чисел. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 25.19, страница 164.

25.19. Известно, что из всех поступавших в университет абитуриентов в среднем 60 % набрали на экзаменах более 20 баллов. Какова вероятность того, что из 100 случайно выбранных абитуриентов более 20 баллов набрали:

а) от 50 до 70 человек;

б) не менее 20 человек;

в) не более 60 человек;

г) более 69 человек?

Пусть $X$ — случайная величина, равная числу абитуриентов, набравших более 20 баллов, из 100 случайно отобранных. Проверка каждого абитуриента является независимым испытанием. Вероятность "успеха" (абитуриент набрал более 20 баллов) в каждом испытании постоянна и равна $p = 60\% = 0.6$.

Таким образом, случайная величина $X$ распределена по биномиальному закону с параметрами $n=100$ (число испытаний) и $p=0.6$ (вероятность успеха). Вероятность "неудачи" (абитуриент набрал не более 20 баллов) равна $q = 1 - p = 0.4$.

Поскольку число испытаний $n=100$ велико, для нахождения вероятностей мы можем использовать нормальное приближение к биномиальному распределению (теорему Муавра-Лапласа). Условия применимости теоремы выполняются: $np = 100 \times 0.6 = 60 > 5$ и $nq = 100 \times 0.4 = 40 > 5$.

Биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным распределением со следующими параметрами:

• Математическое ожидание (среднее значение): $M(X) = np = 60$.
• Среднеквадратическое отклонение: $\sigma(X) = \sqrt{npq} = \sqrt{100 \times 0.6 \times 0.4} = \sqrt{24} \approx 4.899$.

Для вычисления вероятностей будем использовать интегральную теорему Муавра-Лапласа с поправкой на непрерывность. Вероятность того, что число успехов $X$ окажется в промежутке от $k_1$ до $k_2$, вычисляется по формуле:
$P(k_1 \le X \le k_2) \approx \Phi(x_2) - \Phi(x_1)$, где $x_1 = \frac{k_1 - 0.5 - np}{\sqrt{npq}}$ и $x_2 = \frac{k_2 + 0.5 - np}{\sqrt{npq}}$.
Здесь $\Phi(x)$ — функция Лапласа (значения которой берутся из таблиц), представляющая собой интеграл от стандартной нормальной функции распределения.

---

а) от 50 до 70 человек;

Требуется найти вероятность $P(50 \le X \le 70)$. Применяем поправку на непрерывность. Границы интервала: $k_1 = 50$, $k_2 = 70$.

Вычисляем стандартизированные значения $x_1$ и $x_2$:
$x_1 = \frac{50 - 0.5 - 60}{\sqrt{24}} = \frac{-10.5}{4.899} \approx -2.14$
$x_2 = \frac{70 + 0.5 - 60}{\sqrt{24}} = \frac{10.5}{4.899} \approx 2.14$

Вероятность равна:
$P(50 \le X \le 70) \approx \Phi(2.14) - \Phi(-2.14)$

Используя свойство функции Лапласа $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$, получаем:
$P \approx \Phi(2.14) - (1 - \Phi(2.14)) = 2\Phi(2.14) - 1$

Из таблицы значений функции распределения стандартного нормального закона находим $\Phi(2.14) \approx 0.9838$.
$P \approx 2 \times 0.9838 - 1 = 1.9676 - 1 = 0.9676$

Ответ: $0.9676$

---

б) не менее 20 человек;

Требуется найти вероятность $P(X \ge 20)$, что эквивалентно $P(20 \le X \le 100)$. Границы интервала: $k_1 = 20$, $k_2 = 100$.

Вычисляем стандартизированные значения $x_1$ и $x_2$:
$x_1 = \frac{20 - 0.5 - 60}{\sqrt{24}} = \frac{-40.5}{4.899} \approx -8.27$
$x_2 = \frac{100 + 0.5 - 60}{\sqrt{24}} = \frac{40.5}{4.899} \approx 8.27$

Вероятность равна:
$P(20 \le X \le 100) \approx \Phi(8.27) - \Phi(-8.27) = 2\Phi(8.27) - 1$

Значение функции $\Phi(x)$ для $x > 4$ практически равно 1. Таким образом, $\Phi(8.27) \approx 1$.
$P \approx 2 \times 1 - 1 = 1$

Вероятность этого события чрезвычайно высока и практически равна 1, так как 20 человек находится более чем на 8 стандартных отклонений ниже среднего (60).

Ответ: $\approx 1$

---

в) не более 60 человек;

Требуется найти вероятность $P(X \le 60)$, что эквивалентно $P(0 \le X \le 60)$. Границы интервала: $k_1 = 0$, $k_2 = 60$.

Вычисляем стандартизированное значение для верхней границы:
$x_2 = \frac{60 + 0.5 - 60}{\sqrt{24}} = \frac{0.5}{4.899} \approx 0.10$

Вероятность равна $P(X \le 60) \approx \Phi(0.10)$.
(Нижняя граница $x_1 = \frac{0 - 0.5 - 60}{\sqrt{24}} \approx -12.35$, и $\Phi(-12.35) \approx 0$, поэтому ей можно пренебречь).

Из таблицы значений функции распределения стандартного нормального закона находим $\Phi(0.10) \approx 0.5398$.

Ответ: $0.5398$

---

г) более 69 человек?

Требуется найти вероятность $P(X > 69)$, что эквивалентно $P(X \ge 70)$ или $P(70 \le X \le 100)$. Границы интервала: $k_1 = 70$, $k_2 = 100$.

Вычисляем стандартизированное значение для нижней границы:
$x_1 = \frac{70 - 0.5 - 60}{\sqrt{24}} = \frac{9.5}{4.899} \approx 1.94$

Вероятность равна $P(X > 69) \approx P(Z \ge 1.94)$, где $Z$ — стандартная нормальная величина.
$P(Z \ge 1.94) = 1 - P(Z < 1.94) = 1 - \Phi(1.94)$

Из таблицы значений функции распределения стандартного нормального закона находим $\Phi(1.94) \approx 0.9738$.
$P \approx 1 - 0.9738 = 0.0262$

Ответ: $0.0262$